$$ \mathbb{R}: 実数全体の集合 $$
\(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\) に対し、
$$ \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) $$
を平面ベクトルという。
\(x_1, x_2\)を、\(\boldsymbol{x}\)の成分という。
すべての平面ベクトルの集まり\(\mathbb{R}^2\)
$$ \mathbb{R}^2 := \left\{ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) | x_1, x_2 \in \mathbb{R} \right\} $$
相等
\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) , \boldsymbol{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)に対し、
$$ x と y が等しい :\iff x_1 = y_1 かつ x_2 = y_2 $$
このとき、
$$ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{y} $$
と表す。
スカラー倍
スカラーとはベクトルの成分となるもの。
\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)に対しては、\(c \in \mathbb{R}\)がスカラーである。
このとき、
$$ \left( \begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \end{array} \right) $$
を、\(\boldsymbol{x}\)のスカラー倍（ \(c\)倍）とよび、
$$ \left( \begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \end{array} \right) = c \boldsymbol{x} $$
と表す。
特に、
$$ (-1) \boldsymbol{x} = – \boldsymbol{x} $$
と表す。
和
\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) , \boldsymbol{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)に対し、\(\boldsymbol{x}\)と\(\boldsymbol{y}\)の和を、
$$ \boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} := \left( \begin{array}{c} x_1+y_1 \\ x_2 + y_2 \end{array} \right) $$
とする。
特に、\(\boldsymbol{x} + (- \boldsymbol{y} ) \)を、\(\boldsymbol{x} – \boldsymbol{y}\)と表す。
ゼロベクトル
\( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \)をゼロベクトルとよび、\( \boldsymbol{0}\)で表す。
すべてのベクトル\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \)に対し、\( \boldsymbol{x} – \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \)が成立することを示す。
証明
$$ \begin{array} \boldsymbol{x} – \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{x} + (- \boldsymbol{x} ) \quad \because ベクトルの和 \\ &= \boldsymbol{x} + (-1) (\boldsymbol{x} ) \quad \because スカラー倍 \\ &= \left( \begin{array}{c} x_1+(-1) x_1 \\ x_2 + (-1) x_2 \end{array} \right) \quad \because ベクトルの和 \\ &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \quad \because 実数の性質 \\ &= \boldsymbol{0} \end{array} $$
基本ベクトル
$$ \boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) $$
を、基本ベクトルという。
線型結合
$$ \boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_r \in \mathbb{R}^2 $$
$$ c_1, \cdots , c_r \in \mathbb{R} $$
のとき、ベクトル
$$ c_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + c_r \boldsymbol{a}_r $$
を、\( \boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_r \)の線型結合、または一次結合という。
任意の平面ベクトル \( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)は、基本ベクトル \( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \)の線型結合で表すことができる。
証明
$$ \begin{array} \boldsymbol{x} &= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ x_2 \end{array} \right) \\ &= x_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) + x_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ &= x_1 \boldsymbol{e}_1 + x_2 \boldsymbol{e}_2 \end{array} $$
よって、\( \boldsymbol{x} \)は、\( \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \)の線型結合で表すことができる。
任意の平面ベクトル\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)は、\(\boldsymbol{f}_1= \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) , \boldsymbol{f}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right) \)で表すことができることを示す。
$$ \boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) = 2 \boldsymbol{e}_1 $$
$$ \therefore \boldsymbol{e}_1 = \frac{1}{2} (\boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 ) $$
$$ \boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = 2 \boldsymbol{e}_2 $$
$$ \therefore \boldsymbol{e}_2 = \frac{1}{2} ( \boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 ) $$
$$ \begin{array} \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) &= x_1 \boldsymbol{e}_1 + x_2 \boldsymbol{e}_2 \\ &= x_1 \frac{1}{2} (\boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 ) + x_2 \frac{1}{2} ( \boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 ) \\ &= \frac{x_2-x_1}{2} \boldsymbol{f}_1 + \frac{x_2+x_1}{2}\boldsymbol{f}_2 \end{array} $$
生成・張る
$$ \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \in \mathbb{R}^2 $$
任意の平面ベクトル\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2 \)が、\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で表されるとき、
$$ \mathbb{R}^2 は \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n で生成される（張られる）$$
$$ \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n は、\mathbb{R}^2 を生成する（張る）$$
という。