有向線分
平面上に2点\(P, Q\)をとり、\(P\)を始点、\(Q\)を終点として矢印で結んだものを有向線分といい、\(\overrightarrow{PQ}\)と表す。
相等
$$ 2つの有向線分\overrightarrow{PQ}と\overrightarrow{P’Q’}が等しい $$
$$ :\iff \overrightarrow{P’Q’}を平行移動して\overrightarrow{PQ}に重ねることができる $$
$$ \iff 四角形 PQQ’P’ が平行四辺形をなす $$
有向線分と平面ベクトル
平面に\( (x, y) \)座標を定める。
有向線分\( \overrightarrow{PQ} \)と等しいものの中で、原点\(O = (0, 0) \)を始点とする有効線分を\( \overrightarrow{OA} \)とする。
点\(A\)の座標が\( (a_1, a_2) \)のとき、平面ベクトル\( \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \)と\( \overrightarrow{OA} \)を対応づけ、
$$ \boldsymbol{a} = \overrightarrow{OA} $$
で表す。
同様に、\( \overrightarrow{OA} \)と等しいすべての有向線分を\( \boldsymbol{a}\)と対応づけ、
$$ \boldsymbol{a} = \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{PQ} = \cdots$$
で表す。
位置ベクトル
平面上の点\(A\)の座標を\( (a_1, a_2) \)とするとき、有向線分\( \overrightarrow{OA} \)に対して、平面ベクトル\( \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \)を対応づける。\( \boldsymbol{a} \)を点\(A\)の位置ベクトルという。
ベクトルの長さ
平面ベクトル\( \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \) の長さを\( \sqrt{ a_1^2 + a_2^2} \)で定め、これを\( \| \boldsymbol{a} \| \) と表す。
命題：平面ベクトル\( \boldsymbol{a} \)の長さは、\( \boldsymbol{a} \)に対応する有向線分の長さに等しい。
証明
\( \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) \)とする。
\( \boldsymbol{a} \)に対応する有向線分で、始点が原点にあるものを \( \overrightarrow{OA} \) とする
\(A\)の座標は\( (a_1, a_2) \)より、有向線分\( \overrightarrow{OA} \)の長さは、三平方の定理より、
$$ | \overrightarrow{OA} | = \sqrt{ a_1^2 + a_2^2} $$
$$ \therefore \| \boldsymbol{a} \| = | \overrightarrow{OA} | $$
平面ベクトルのスカラー倍と和の幾何的意味
スカラー倍
$$ \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) = \overrightarrow{OA} $$
のとき、\(c \in \mathbb{R} \)に対し、
$$ c \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} ca_1 \\ ca_2 \end{array} \right), \quad \| c \boldsymbol{a} \| = |c| \| \boldsymbol{a} \| $$
\( c \boldsymbol{a} \)に対する有向線分は、
$$ 長さ \ |c| 倍 $$
$$ \begin{eqnarray} 向き \ \begin{cases} \overrightarrow{OA} と同じ & ( c \gt 0) \\ なし & (c=0) \\ \overrightarrow{OA} と逆 & ( c \lt 0) \end{cases} \end{eqnarray} $$
和
$$ \boldsymbol{a} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \end{array} \right) = \overrightarrow{OA} , \ \boldsymbol{b} = \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right) = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{AC} $$
のとき、
$$ \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OC} $$
また、
$$ \boldsymbol{a} = \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{B’C} , \ \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OB}, \ – \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OB’} $$
のとき、
$$ \boldsymbol{a} – \boldsymbol{b} = \overrightarrow{OC} $$