どのようなベクトルであれば、任意の平面ベクトル\( \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \) を一意的に線型結合で表すことができるか？
（どのようなベクトルであれば、\( \mathbb{R}^2 \)を張ることができるか？）
\(a_1, \cdots , a_n \in \mathbb{R}^2 \)に対し、任意の平面ベクトルが\( a_1, \cdots , a_n \)の線型結合で一意的に表されるための条件を考える。
$$ \boldsymbol{x}_1 = c_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + c_n \boldsymbol{a}_n \tag{1} $$
$$ \boldsymbol{x}_2 = d_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + d_n \boldsymbol{a}_n \tag{2} $$
もし任意の平面ベクトルが\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で一意的に表されるならば、次が成り立つ。
$$ \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_2 \implies c_1 = d_1 , \cdots , c_n = d_n \tag{3}$$
\( \because \) 背理法を用いて(3)を示す。
\( \boldsymbol{x}_1 = \boldsymbol{x}_2 \)が成り立つにもかかわらず、\( c_i \neq d_i \)なる\(i\)が存在するならば、\(\boldsymbol{x}_1 \)と\(\boldsymbol{x}_2\)を\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で表す表現は、少なくとも2つ存在する。
すなわち一意的ではない。
よって、任意の\(i\)において、\(c_i = d_i\)
\( (1) \)から\( (2) \)を引くと、
$$ \boldsymbol{x}_1 – \boldsymbol{x}_2 = (c_1- d_1) \boldsymbol{a}_1 + \cdots + ( c_n – d_n) \boldsymbol{a}_n \tag{4} $$
また、\( (3) \)より、次が成り立つ。
$$ \boldsymbol{x}_1 – \boldsymbol{x}_2= \boldsymbol{0} \implies c_1 – d_1= 0 , \cdots , c_n – d_n= 0\tag{5}$$
\( (5) \)において、\( \boldsymbol{x}_1 – \boldsymbol{x}_2 = \boldsymbol{x} \)、\( c_i – d_i = b_i \)とおくと、
$$ \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} \implies b_1= 0 , \cdots , b_n= 0\tag{6}$$
命題
任意の平面ベクトル\( \boldsymbol{x} \) が \( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で一意的に表されるならば、次が成り立つ。
$$ b_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots b_n \boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0} \implies b_1= \cdots =b_n= 0 $$
定義 線形独立（一次独立）
$$ 平面ベクトル \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n が線形独立（一次独立）$$
$$ :\iff b_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots b_n \boldsymbol{a}_n = \boldsymbol{0} \implies b_1= \cdots =b_n= 0 $$
また、平面ベクトル \(\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)が線形独立（一次独立）でないとき、平面ベクトル \(\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)は線形従属（一次従属）であるという。
命題
平面ベクトル\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)が線形独立（一次独立）ならば、任意の平面ベクトル\( \boldsymbol{x} \)は、\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で一意的に表される。
証明
\( \boldsymbol{x} \)を\(c_i, d_i \)を用いて以下の2通りに表す。
$$ \boldsymbol{x} = c_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + c_n \boldsymbol{a}_n $$
$$ \boldsymbol{x} = d_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + d_n \boldsymbol{a}_n $$
両辺の差をとる。
$$ \boldsymbol{0} = (c_1 – d_1) \boldsymbol{a}_1 + \cdots + (c_n – d_n) \boldsymbol{a}_n $$
ここで、平面ベクトル\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)は線形独立なので、
$$ (c_1 – d_1) = \cdots = (c_n – d_n) = 0 $$
$$ \therefore c_1 = d_1 , \cdots , c_n = d_n $$
つまり、\( \boldsymbol{x} \)は、\( \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \)の線型結合で一意的に表される。
基底
線型代数学における基底（きてい、英: basis）は、線型独立なベクトルから成る集合で、そのベクトルの（有限個の）線型結合として、与えられたベクトル空間の全てのベクトルを表すことができるものを言う。
フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ベクトル\( \boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \)が線形独立でかつ\(\mathbb{R}^2 \)を張るとき、\( \boldsymbol{a}_1 , \boldsymbol{a}_2 \) を \(\mathbb{R}^2 \) の基底という。