平面ベクトル

$$\mathbb{R}: 実数全体の集合$$

$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ に対し、

$$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$$

を平面ベクトルという。

$x_1, x_2$を、$\boldsymbol{x}$の成分という。

すべての平面ベクトルの集まり$\mathbb{R}^2$

$$\mathbb{R}^2 := \left\{ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) | x_1, x_2 \in \mathbb{R} \right\}$$

相等

$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) , \boldsymbol{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$に対し、

$$x と y が等しい :\iff x_1 = y_1 かつ x_2 = y_2$$

このとき、

$$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{y}$$

と表す。

スカラー倍

スカラーとはベクトルの成分となるもの。

$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$に対しては、$c \in \mathbb{R}$がスカラーである。

このとき、

$$\left( \begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \end{array} \right)$$

を、$\boldsymbol{x}$のスカラー倍（ $c$倍）とよび、

$$\left( \begin{array}{c} cx_1 \\ cx_2 \end{array} \right) = c \boldsymbol{x}$$

と表す。

特に、

$$(-1) \boldsymbol{x} = – \boldsymbol{x}$$

と表す。

和

$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) , \boldsymbol{y} = \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$に対し、$\boldsymbol{x}$と$\boldsymbol{y}$の和を、

$$\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y} := \left( \begin{array}{c} x_1+y_1 \\ x_2 + y_2 \end{array} \right)$$

とする。

特に、$\boldsymbol{x} + (- \boldsymbol{y} )$を、$\boldsymbol{x} – \boldsymbol{y}$と表す。

ゼロベクトル

$\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right)$をゼロベクトルとよび、$\boldsymbol{0}$で表す。

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すべてのベクトル$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$に対し、$\boldsymbol{x} – \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$が成立することを示す。

証明

$$\begin{array} \boldsymbol{x} – \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{x} + (- \boldsymbol{x} ) \quad \because ベクトルの和 \\ &= \boldsymbol{x} + (-1) (\boldsymbol{x} ) \quad \because スカラー倍 \\ &= \left( \begin{array}{c} x_1+(-1) x_1 \\ x_2 + (-1) x_2 \end{array} \right) \quad \because ベクトルの和 \\ &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) \quad \because 実数の性質 \\ &= \boldsymbol{0} \end{array}$$

基本ベクトル

$$\boldsymbol{e}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) , \boldsymbol{e}_2 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$$

を、基本ベクトルという。

線型結合

$$\boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_r \in \mathbb{R}^2$$

$$c_1, \cdots , c_r \in \mathbb{R}$$

のとき、ベクトル

$$c_1 \boldsymbol{a}_1 + \cdots + c_r \boldsymbol{a}_r$$

を、$\boldsymbol{a}_1, \cdots , \boldsymbol{a}_r$の線型結合、または一次結合という。

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任意の平面ベクトル $\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$は、基本ベクトル $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$の線型結合で表すことができる。

証明

$$\begin{array} \boldsymbol{x} &= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} x_1 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\ x_2 \end{array} \right) \\ &= x_1 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) + x_2 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \\ &= x_1 \boldsymbol{e}_1 + x_2 \boldsymbol{e}_2 \end{array}$$

よって、$\boldsymbol{x}$は、$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$の線型結合で表すことができる。

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任意の平面ベクトル$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$は、$\boldsymbol{f}_1= \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \end{array} \right) , \boldsymbol{f}_2 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)$で表すことができることを示す。

$$\boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right) = 2 \boldsymbol{e}_1$$

$$\therefore \boldsymbol{e}_1 = \frac{1}{2} (\boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 )$$

$$\boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) = 2 \boldsymbol{e}_2$$

$$\therefore \boldsymbol{e}_2 = \frac{1}{2} ( \boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 )$$

$$\begin{array} \boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) &= x_1 \boldsymbol{e}_1 + x_2 \boldsymbol{e}_2 \\ &= x_1 \frac{1}{2} (\boldsymbol{f}_2 – \boldsymbol{f}_1 ) + x_2 \frac{1}{2} ( \boldsymbol{f}_2 + \boldsymbol{f}_1 ) \\ &= \frac{x_2-x_1}{2} \boldsymbol{f}_1 + \frac{x_2+x_1}{2}\boldsymbol{f}_2 \end{array}$$

生成・張る

$$\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n \in \mathbb{R}^2$$

任意の平面ベクトル$\boldsymbol{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \in \mathbb{R}^2$が、$\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n$の線型結合で表されるとき、

$$\mathbb{R}^2 は \boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n で生成される（張られる）$$

$$\boldsymbol{a}_1 , \cdots , \boldsymbol{a}_n は、\mathbb{R}^2 を生成する（張る）$$

という。