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平面ベクトル

R:

x1,x2R に対し、

x=(x1x2)

を平面ベクトルという。

x1,x2を、xの成分という。

すべての平面ベクトルの集まりR2

R2:={(x1x2)|x1,x2R}

相等

x=(x1x2),y=(y1y2)R2に対し、

xy:x1=y1x2=y2

このとき、

x=y

と表す。

スカラー倍

スカラーとはベクトルの成分となるもの。

x=(x1x2)R2に対しては、cRがスカラーである。

このとき、

(cx1cx2)

を、xのスカラー倍( c倍)とよび、

(cx1cx2)=cx

と表す。

特に、

(1)x=x

と表す。

x=(x1x2),y=(y1y2)R2に対し、xyの和を、

x+y:=(x1+y1x2+y2)

とする。

特に、x+(y)を、xyと表す。

ゼロベクトル

(00)をゼロベクトルとよび、0で表す。


すべてのベクトルx=(x1x2)に対し、xx=0が成立することを示す。

証明

xx=x+(x)=x+(1)(x)=(x1+(1)x1x2+(1)x2)=(00)=0

基本ベクトル

e1=(10),e2=(01)

を、基本ベクトルという。

線型結合

a1,,arR2

c1,,crR

のとき、ベクトル

c1a1++crar

を、a1,,arの線型結合、または一次結合という。


任意の平面ベクトル x=(x1x2)R2は、基本ベクトル e1,e2の線型結合で表すことができる。

証明

x=(x1x2)=(x10)+(0x2)=x1(10)+x2(01)=x1e1+x2e2

よって、xは、e1,e2の線型結合で表すことができる。


任意の平面ベクトルx=(x1x2)R2は、f1=(11),f2=(11)で表すことができることを示す。

f2f1=(20)=2e1

e1=12(f2f1)

f2+f1=(02)=2e2

e2=12(f2+f1)

x=(x1x2)=x1e1+x2e2=x112(f2f1)+x212(f2+f1)=x2x12f1+x2+x12f2

生成・張る

a1,,anR2

任意の平面ベクトルx=(x1x2)R2が、a1,,anの線型結合で表されるとき、

R2a1,,an

a1,,anR2

という。