1年間の利子率を\(r\)、元本を\(X\)とすると、1年後のリターン+元本は以下のように計算することができます。
$$ X + rX = (1+r)X$$
2年後は以下のように計算することができます。
$$ (1+r)X + r(1+r)X = (1+r)^2X $$
より一般的に、利子率を\(r\)、\(X_0\)を初期投資額とすると、期間\(t\)年のリターン+元本の合計である\(X(t)\)は、以下のように計算することができます。
$$ X(t) = (1+r)^t \cdot X_0 \tag{1}$$
例えば、元本100, 000、投資期間3年、年10%の利子率の投資を行った場合のリターンと元本の合計を計算してみます。
$$ (1+0.1)^{3} \cdot 100,000 \fallingdotseq 133,100 $$
連続複利
\(1/k\)年ごとに利息がつき各期の利率\(r/k\)である場合、\(t\)年後のリターンと元本の合計を考えます。
\((1)\)と同様に考えると、
$$ X(t) = (1+ \frac{r}{k})^{kt} \cdot X_0 \tag{2}$$
分割期間\(k\)を\(k \to \infty \)にすることで、連続時間での複利計算式を考えることができます。
ここで、
$$ \frac{k}{r} = K $$
とすると、\((1)\)は以下のようになります。
$$ X(t) = (1+ \frac{1}{K})^{trK} \cdot X_0 \tag{2}$$
\(k \to \infty \) の時\(K \to \infty \)なので、
$$\begin{align} \lim_{k \to \infty} (1+ \frac{r}{k})^{kt} \cdot X_0 &= \lim_{K \to \infty}(1+ \frac{1}{K})^{trK} \cdot X_0 \\ &= X_0 \cdot e^{rt} \end{align}$$
元本100, 000、投資期間3年、10%の連続利子率の投資を行った場合のリターンと元本の合計を連続複利式を使って計算してみます。
$$ 100000 \cdot e^{0.1 \cdot 3} \fallingdotseq 134,986 $$
連続複利式を使うことで、金利を使うモデルを解析的に解くことができるようになります。
また、離散の場合と連続の場合で、複利の適用される回数が異なるので、例での計算では、133,100、134,986と、当然ながら異なる計算結果になります。
1年の離散金利\(r_a\)から連続金利\(r_c\)は以下のようにして求まります。
$$ 1 + r_a = e^{r_c} $$
$$ log (1+r_a) = r_c $$
年10%の離散利子率は連続利子率では以下のようになります。
$$ r_c = log (1+0.1) \fallingdotseq 0.0953 $$
この連続利子率で元本100, 000、投資期間3年の計算を行うと、年10%の離散利子率で計算した場合とほぼ同じ結果になります。
$$ 100000 \cdot e^{0.0953 \cdot 3} \fallingdotseq 133,096 $$