現在価値と将来価値
1年後に貰える10万円の価値と今貰える10万円の価値は異なります。
なぜなら、今10万円を貰って1年間銀行に預ければ、利子分のお金が1年後に手に入るからです。
この素朴な考えを適用することで、現在価値や将来価値という概念が生まれます。
\(r\)を1年の利子率、現在価値 Present Value \(PV\)、将来価値 Future Value \(FV\)とすると、\(t\)年後の現在価値と将来価値の関係は以下のようになります。
$$ PV \cdot (1+r)^t = FV $$
$$ PV = \frac{FV}{(1+r)^t} $$
利子率10％のもとで、3年後の100,000円の現在価値を計算します。
$$ PV = \frac{100,000}{1.1^3} \fallingdotseq 75,131 $$
連続利子率\(r_c\)では、以下のようになります。
$$ PV \cdot e^{r_c t} = FV $$
$$ PV = e^{-r_c t} FV $$
利子率10％のもとで、3年後の100,000円の現在価値を、連続利子率を使い計算します。
$$ r_c = log (1+0.1) \fallingdotseq 0.09531 $$
$$ PV = e^{-0.09531 \cdot 3} \cdot 100,000 \fallingdotseq 75,132 $$
割引価値
割引現在価値（わりびきげんざいかち）とは、将来に受け取れる価値が、もし現在受け取れるとしたらどの程度の価値をもつかを表すもの。たとえば利率が5％のとき、1年後の105万円の割引現在価値は100万円となる。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
現在価値と将来価値の関係を利子率を使って考えると、現在価値は将来価値から利子率を割り引いた ( Discount )ものであると考えることができます。
このような考えに従うと、現在価値 Present Value は割引価値 Disount Value とも呼ばれ、利子率の逆数から割引率\(d(t)\)を考えることができます。
$$ PV = d(t) \cdot FV $$
$$ d(t) = \frac{1}{(1+r)^t} $$
連続利子率の場合は以下のようになります。
$$ PV = d(t) \cdot FV $$
$$ d(t) = e^{-r_c t}$$
利子率10％のもと、3年間の割引率は以下のようになります。
$$ d(3) = \frac{1}{1.1^3} \fallingdotseq 0.75131 $$
3年後の100,000円の割引価値を計算します。
$$ PV = d(3) \cdot 100,000 \fallingdotseq 75,131 $$
現在の100,000円の3年後の価値を計算します。
$$ FV = \frac{100,000}{d(3)} \fallingdotseq 133,101 $$