$$ 関数 y = f(x) が点 x=a において微分可能である $$
$$ \iff 次を満たす定数 A と関数 \varphi (t) が存在する $$
$$・ \ \varphi (t) は t=0 の近傍で定義されていて、\lim_{t \to 0} \frac{\varphi(t)}{t}=0 を満たす $$
$$ ・ \ 十分小さな \delta \gt 0 が存在し、|\Delta x| \lt \delta を満たす全ての \Delta x に対して、$$
$$ f(a+ \Delta x) = f(a) + A \Delta x + \varphi (\Delta x) が成り立つ $$
$$ さらにこの時 A = f'(a) が成り立つ $$
この定理の意味を考える。
$$ y = f(x) が x=a において微分可能 $$
$$ \iff \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a) \ (h \to 0) \tag{1} $$
\((1)\)は適当な関数\(R(h)\)を用いて
$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \to f'(a) + R(h) かつ \lim_{h \to 0} R(h) =0 \tag{2} $$
と表すことができる。
\((2)\)の左式の両辺を\(h\)倍して、
$$ f(a+h) -f(a) = h f'(a) + h R(h) $$
\(r(h) = h R(h) \)とおくと、
$$ f(a+h) = f(a) + h f'(a) + r(h) $$
\( \lim_{h \to 0} R(h) = 0 \)なので、
$$ \lim_{h \to 0} \frac{r(h)}{h} = 0$$
\(r(h)\)は\(h\)よりも高次の無限小であり\(r(h) = o(h)\)と表すことができる。
つまり、\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能であれば、\(h\)が十分に小さいとき、
$$ f(a+h) = f(a) + h f'(a) + o(h) $$
となる。
\(h f'(a)\)は\(h\)の一次式であり線で近似できることを意味する。