ある関数\(f(x)\)の導関数 ‘derivative’ \(f'(x)\)は以下のように定義されます。
$$ f’ (x) = \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0} \frac {f(x + \Delta x) – f(x)} {\Delta x} $$
この極限は、存在する場合と存在しない場合があります。
\(x=a\)で極限が存在するならば、「\(a\)で微分可能である」 ‘differentiable at \(a\)’ となります。
導関数 \(f'(x)\)を求めることを、\(f(x)\)を微分 ‘differentiation’ すると言います。
\(f(x)=x^3\)を定義に基づき微分します。
$$ \begin{align} f( x + \Delta x) – f(x) &= (x+ \Delta x )^3 – x^3 \\ &= 3x^2 \Delta x + 3x (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 \\ &= \Delta x [ 3x^2+ 3x \Delta x + (\Delta x)^2 ]\end{align} $$
$$ \frac { f( x + \Delta x) – f(x) } { \Delta x } = 3x^2+ 3x \Delta x + (\Delta x)^2 $$
$$ \begin{align} f'(x) &= \displaystyle \lim_{ \Delta x \to 0} [ 3x^2+ 3x \Delta x + (\Delta x)^2 ] \\ &= 3x^2 \end{align}$$
\(f(x)=\frac {1}{x}\)を定義に基づき微分します。
$$ \begin{align} f(x+ \Delta x) – f(x) &= \frac{1}{x+ \Delta x} – \frac{1}{x} \\ &= \frac{x-(x+ \Delta x)}{x(x+ \Delta x)} \\ &= \frac {- \Delta x}{ x(x+ \Delta x) } \end{align}$$
$$ \frac { f (x + \Delta x) – f(x)} {\Delta x} = \frac {- 1}{ x(x+ \Delta x) } $$
$$ \begin{align} f'(x) &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {- 1}{ x(x+ \Delta x) } \\ &= – \frac{1}{x^2} \end{align} $$
\( f(x) = \sqrt {x} \) を定義に基づき微分します。
$$ f(x + \Delta x) – f(x) = \sqrt {x + \Delta x} – \sqrt{x} $$
$$ \begin{align} \frac { f (x + \Delta x) – f(x)} {\Delta x} &= \frac { \sqrt {x + \Delta x} – \sqrt{x} }{\Delta x} \\ &= \frac { \sqrt {x + \Delta x} – \sqrt{x} }{\Delta x} \frac { \sqrt {x + \Delta x} + \sqrt{x} }{ \sqrt {x + \Delta x} + \sqrt{x} } \\&= \frac{x+\Delta x -x}{\Delta x ( \sqrt {x + \Delta x} + \sqrt{x} ) } \\&= \frac{1}{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt{x} } \end{align}$$
$$ \begin{align} f'(x) &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt {x + \Delta x} + \sqrt{x} } \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}} \\ &= \frac {1}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \end{align} $$
微分のライプニッツ表記
関数 \(y= f(x)\)において、\( \Delta y = f(x+\Delta x) – f(x)\)とすると以下のようになります。
$$ \frac { f (x + \Delta x) – f(x)} {\Delta x} = \frac { \Delta y }{ \Delta x } $$
微分のライプニッツ表記は導関数\(f'(x)\)を以下のように表記します。
$$ f'(x) = \frac{ dy }{ dx } = \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac { \Delta y }{ \Delta x } $$
\( \frac{ dy }{ dx } \)は、’dy over dx’ と読みます。
以下のようにも表記されます。
$$ f'(x) = \frac{ df(x) }{ dx } = \frac{ d}{ dx } f(x) $$
\( \frac{ d }{ dx } f(x)\) は、’the derivative with respect to x of f(x)’ と読みます。