連鎖率
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
証明
$$ \begin{align}&\frac{dy}{du} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac {\Delta u}{\Delta u} \\ \iff & \frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du} + \epsilon \quad \epsilon \rightarrow 0 \ as \ \Delta u \rightarrow 0 \\ \iff & \Delta y = \frac{dy}{du}\Delta u + \epsilon \Delta u \quad \epsilon \rightarrow 0 \ as \ \Delta u \rightarrow 0 \end{align}$$
両辺を\(\Delta x \neq 0\)で割って、
$$ \frac{\Delta y}{ \Delta x } = \frac{dy}{du}\frac{\Delta u}{ \Delta x } + \epsilon \frac {\Delta u}{ \Delta x } \quad \epsilon \rightarrow 0 \ as \ \Delta u \rightarrow 0 $$
ここで、\(x \rightarrow 0\)とすると、
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$
例
\(y=(3x^4+1)^7\)を微分します。
$$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 7(3x^4+1)^6 \frac{d}{dx}(3x^4+1) \\ &= 84 x^3(3x^4+1)^6 \end{align} $$
\(y=[(3x^4+1)^7+1]^5\)を微分します。
$$\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 5 [(3x^4+1)^7+1]^4 \frac{dy}{dx} [ (3x^4+1)^7+1 ] \\ &= 5 [(3x^4+1)^7+1]^4 7 (3x^4+1)^6 \frac{dy}{dx} (3x^4+1) \\ &= 5 [(3x^4+1)^7+1]^4 7 (3x^4+1)^6 12x^3 \end{align} $$
\(y = \left( \frac{1-2x}{1+2x} \right)^4\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 4 \left( \frac{1-2x}{1+2x} \right)^3 \frac{d}{dx} \left ( \frac{1-2x}{1+2x} \right) \\ &= 4 \left( \frac{1-2x}{1+2x} \right)^3 \frac{(1+2x)(-2)-(1-2x)(2)}{(1+2x)^2} \\ &= -16\frac{(1-2x)^3}{(1+2x)^5} \end{align}$$
\(y = (x^2-1)^3(x^2+1)^{-2}\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (x^2-1)^3\frac{d}{dx}(x^2+1)^{-2} + (x^2+1)^{-2}\frac{d}{dx}(x^2-1)^3 \\ &= (x^2-1)^3(-2)(x^2+1)^{-3}(2x) + (x^2+1)^{-2} 3(x^2-1)^2 2x \\&= 2x(x^2-1)^2 \left[\frac{-2(x^2-1)}{(x^2+1)^3}+\frac{3}{(x^2+1)^2} \right] \\ &= 2x(x^2-1)^2 \left[\frac{-2(x^2-1)+3(x^2+1)}{(x^2+1)^3} \right] \\ &= \frac{2x(x^2-1)^2(x^2+5)}{(x^2+1)^3} \end{align}$$