$$ f(x) = x^{\alpha} \quad ( x \gt 0, \alpha \in \mathbb{R}) $$
対数微分法を使う。
\(f(x) \gt 0\)より\(\\log (f(x))\)を考えることができる。
両辺で対数を取り、
$$ \log f(x) = \alpha \log x $$
両辺を\(x\)で微分すると、
$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\alpha}{x} $$
よって、
$$ f'(x) = \frac{\alpha}{x} f(x) = \alpha x^{\alpha-1} $$
つまり、
$$ (x^{\alpha})’ = \alpha x^{\alpha-1} $$