先渡し契約の価値の公式

先渡し契約の時点$t$での価値を、先渡し価格$K$、期限$T$として、$V(t; K, T)$とします。

また、$K_T(t)$を、時点$t$での先渡し契約における適正価格、つまりロング、ショートの双方とも利益がゼロになる先渡し契約の価格とします。

つまり、

$$ V(t; K_T(t), T) = 0 $$

を満たします。

期間中に収入の発生しない先渡し契約の場合、適正価格$K_T(t)$は、

$$ K_T(t) = e^{r(T-t)}S(t) $$

また、収入の発生する先渡し契約は、$t$から$T$の間に発生する収入の$t$時点での割引価値を$I(t)$として、

$$ K_T(t) = e^{r(T-t)}(S(t)-I(t)) $$

と表すことが出来ます。

先渡し契約の価値

先渡し契約の時点$t$での価値$V(t; K, T)$は、以下のように表すことができます。

$$ V(t; K, T) = (K_T(t)-K)e^{-r(T-t)} \tag{1}$$

$(1)$を示します。

時点$t$で以下の2つの先渡し契約を結ぶとします。

時点$\tau(t \leq \tau \leq T)$でのこのポートフォリオの価値は、以下のように表すことができます。

$$ V(\tau; K, T) – V(\tau; K_T(t), T) $$

時点$T$において、それぞれの先渡し契約が履行されるので、その価値は以下のようになります。

$$ \begin{align} V(T; K, T) – V(T; K_T(t), T) &= (S(T) – K) – (S(T) – K_T(t)) \\ &= K_T(t) – K \tag{2}\end{align}$$

ここで、一物一価の原則より、このポートフォリオの$T$以前の価値は、$(2)$の割引価値と一致します。

つまり、

$$ V(t; K, T) – V(t; K_T(t), T) = ( K_T(t) – K) e^{-r(T-t)} $$

ここで、$K_T(t)$は時点$t$での先渡し契約における適正価格であり、

$$ V(t; K_T(t), T) = 0 $$

なので、

$$ V(t; K, T) = (K_T(t)-K)e^{-r(T-t)} $$

となり、$(1)$が示されます。

また、$(1)$に

$$ K_T(t) = e^{r(T-t)}(S(t)-I(t)) $$

を代入すると、

$$ \begin{align} V(t; K, T) &= [e^{r(T-t)}(S(t)-I(t))-K]e^{-r(T-t)} \\ &= S(t)-I(t) – Ke^{-r(T-t)} \end{align} $$

となります。