\(\theta\)をラジアンとして以下の極限を考えます。
$$ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} $$
下の単位円を考えます。
この単位円で、弦\( \overline{ AB }\)は\(2 \sin \theta\)、 弧\(\stackrel{ \Large \frown }{ AB }\)は\(2 \theta\)になります。
$$ \frac { \overline{ AB }}{ \stackrel{ \Large \frown }{ AB }} \rightarrow 1 \quad as \quad \stackrel{ \Large \frown }{ AB } \rightarrow 0 $$
$$ \frac { 2 \sin \theta\ }{ 2 \theta } \rightarrow 1 \quad as \quad 2 \theta \rightarrow 0 $$
$$\frac { \sin \theta\ }{ \theta} \rightarrow 1 \quad as \quad \theta \rightarrow 0 $$
つまり、
$$ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$$
となります。
以下の極限を考えます。
$$ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{1 – \cos \theta}{\theta} $$
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)を使い、以下のように式変形することで求めることが出来ます。
$$ \begin{align} \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{1 – \cos \theta}{\theta} &= \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{1 – \cos \theta}{\theta} \cdot \frac{1 + \cos \theta}{ 1 + \cos \theta } \\ &= \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{1 – \cos^2 \theta}{\theta( 1 + \cos \theta )} \\ &= \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{\sin^2 \theta}{ \theta( 1 + \cos \theta ) } \\ &= \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \frac{\sin \theta}{ 1 + \cos \theta } \\ &= \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \cdot \displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{ 1 + \cos \theta } \\ &= 1 \cdot \frac{0}{1+1} = 0 \end{align} $$
つまり、
$$ \displaystyle \lim_{ \theta \to 0} \frac{1 – \cos \theta}{\theta} = 0 $$
となります。