微分積分学において、テイラーの定理（テイラーのていり、英: Taylor’s theorem）は、k 回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似を k 次のテイラー多項式によって与える
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「関数を多項式（級数）で近似することで、そのままでは扱うのが難しい関数を扱いやすい形に変える」というアイデア。
具体的な例として、多項式の係数を導関数を用いて表すことを考える。
f(x)=c0+c1x+c2x2+⋯+cnxn
というn次多項式の係数c0,…,cnを、x=0におけるf,f′,f”,…を用いて表す。
f(0)=c0
∴c0=f(0)
f′(x)=c1+2c2x+⋯+ncnxn−1f′(0)=c1
∴c1=f′(0)
f”(x)=2c2+3⋅2c3+⋯+n(n−1)cnxn−2f”(0)=2c2
∴c2=f”(0)2
f(3)=3⋅2c3+⋯+n(n−1)(n−2)cnxn−3f(3)(0)=3⋅2c3
∴c3=f(3)(0)3⋅2
⋯
f(k)(x)=k!ck+(k+1)⋯2ck+1x+⋯+n(n−1)⋯(n−k+1)cnxn−k
f(k)(0)=k!ck
∴ck=f(k)(0)k!
となる。
「初頭関数でも同様の近似を行うことができる」というのがテイラーの定理。
テイラーの定理
f(x):[a,b]で(n−1)回微分可能
f,f′,…,f(n−1)は[a,b]で連続
このとき、
f(n−1)が(a,b)で微分可能ならば、あるc∈(a,b)が存在して、
f(b)=f(a)+f′(a)1!(b−a)+f”(a)2!(b−a)2+⋯+f(n−1)(a)(n−1)!(b−a)n−1+f(n)(c)n!(b−a)n
が成立する。
証明
まず、ある実数Kが存在して、
f(b)=f(a)+f′(a)1!(b−a)+f”(a)2!(b−a)2+⋯+f(n−1)(a)(n−1)!(b−a)n−1+Kn!(b−a)n
が成り立つことに注意する。
(∵(左辺)=(右辺)になるようにKを実数の範囲で適当に調節する。)
次に、x∈[a,b]に対し、関数F(x)を定義する。
（平均値の定理を適用できるような関数にするためF(x)という関数をつくる。）
F(x)=f(b)–{f(x)+f′(x)1!(b−x)+f”(x)2!(b−x)2+⋯+f(n−1)(x)(n−1)!(b−x)n−1+Kn!(b−x)n}
すると、
F(b)=0∵右辺に0を代入する
F(a)=0∵(2)よりF(a)=f(b)–{f(b)}=0
また、
F(x)は[a,b]で連続、(a,b)で微分可能
よって、平均値の定理より、
あるc∈(a,b)が存在してF′(c)=0が成立する。
(3)より、
F′(x)=–[f′(x)+{f”(x)1!(b−x)–f′(x)1!1}+{f(3)(x)2!(b−x)2–f”(x)2!2(b−x)}+{f(4)(x)3!(b−x)3–f(3)(x)3!3(b−x)2}⋯+{f(n)(x)(n−1)!(b−x)n−1–f(n−1)(x)(n−1)!(n−1)(b−x)n−2}−Kn!(b−x)n−1]
ここで、上式はそれぞれの項を互いに打ち消すことができ、
F′(x)=–f(n)(x)(n−1)!(b−x)n−1+Kn!(b−x)n−1=(b−x)(n−1)(n−1)!{K–f(n)(x)}
よって、
F′(c)=(b−c)(n−1)(n−1)!{K–f(n)(c)}=0
ここで、a<c<bより、
(b−c)(n−1)(n−1)!≠0
よって、
K–f(n)(c)=0
K=f(n)(c)
これを(2)に代入すると、
f(b)=f(a)+f′(a)1!(b−a)+f”(a)2!(b−a)2+⋯+f(n−1)(n−1)!(b−a)n−1+f(n)(c)n!(b−a)n
となり、(1)となる。
ラグランジュの剰余項
テイラーの定理
f(b)=n−1∑k=0f(k)(a)k!(b−a)k+f(n)(c)n!(b−a)n
において、
Rn=f(n)(c)n!(b−a)n
をラグランジュの剰余項という。
テイラーの定理の別の表現
f(x):点x=aを含む開区間Jにおいてn回微分可能
このとき、∀x∈Jに対して、あるθ (0<θ<1)が存在し、
f(x)=n−1∑k=0f(k)(a)k!+Rn(x)
Rn(x)=f(n)(a+θ(x−a))n!(x−a)n
が成立する。
テイラー展開
f(x)と点aを含む開区間Jにおいて、∀x∈Jに対し、
n∑k=0f(k)k!(x−a)k→f(x)(n→∞)
が成り立つとき、
f(x)はx=aのまわりでテイラー展開可能である
という。
このとき、無限級数
∞∑n=0f(n)(a)n!(x−a)n
を、
f(x)の点x=aのまわりでのテイラー展開
という。