関数 \(y = f(x) : I = (\alpha, \beta) \)で定義 されている。
$$ f が点 x=a ( a \in I) において微分可能である $$
$$ :\iff 極限値 \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} が存在する$$
この値を\(f'(a)\)で表し、\(f\)の\(x=a\)における微分係数という。
$$ f が開区間 I において微分可能である $$
$$ : \iff f は I の各点において微分可能である $$
\(f\)が開区間\(I\)において微分可能であるとき、\(I\)において関数\(f’\)を、
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} $$
により定める。
この関数\(f’\)を\(f\)の導関数という。
右微分・左微分
関数 \(y = f(x) : I = (\alpha, \beta) \)で定義 されている。
$$ f が点 x=a ( a \in I) において右（左）微分可能である $$
$$ :\iff 極限値 \lim_{h \to +0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} が存在する$$
$$ (:\iff 極限値 \lim_{h \to -0} \frac{f(a+h) -f(a)}{h} が存在する)$$
この値を\(f_{+}'(a) \ (f_{-}'(a))\)で表し、\(f\)の\(x=a\)における右（左）微分係数という。
\(f\)が開区間\(I\)において右（左）微分可能であるとき、\(I\)において関数\(f_{+}’ \ (f_{-}’) \)を、
$$ f_{+}'(x) = \lim_{h \to +0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} $$
$$( f_{-}'(x) = \lim_{h \to -0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} )$$
により定める。
この関数\(f_{+}’ \ (f_{-}’)\)を\(f\)の右（左）導関数という。
$$ f が点 x=a において微分可能である $$
$$ \iff f が点 x=a において左右の微分係数を持ち、かつそれらの値が一致している $$
連続であるが微分可能でない例として、\(f(x) = |x|\)について考える。
$$ f(x)は x \in \mathbb{R}で定義されている \tag{1} $$
$$ \lim_{x \to +0} f(x) = 0 \ \land \ \lim_{x \to -0} f(x) = 0 \iff \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \tag{2} $$
$$ (1)(2)より fは x=0 において連続である。$$
$$ f_{-}’ = -1, f_{+}’ = 1 より f_{-}’ \neq f_{+}’ $$
$$ よって、f は点x=0において微分可能ではない。$$
微分可能と連続
$$ y = f(x) が点 x=a において微分可能 \implies x=a において連続$$
\(f(x) = |x|\)を見れば分かるように逆は必ずしも成り立たない。