漸近展開とは、
$$ f(x): x=a を含む開区間JにおいてC^n級 $$
$$ \implies f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k + o ((x-a)^n) \quad (x \to a) \tag{1}$$
基本的な関数の\(x \to 0\)における漸近展開を考える。
\(e^x\)
\(e^x\)は何度微分しても\(e^x\)なので、全ての\(k\)に対し、
$$ f^{(k)}(0) = e^0 = 1 $$
よって、\((1)\)より、
$$ \begin{align} e^x &= 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n) \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} x^k + o(x^n) \end{align} $$
\(\sin x\)
$$ \frac{d^n}{dx^n }\sin x = \begin{cases} \sin x & (n= 0, 4, \ldots ) \\ \cos x & (n=1, 5, \ldots ) \\ – \sin x & (n=2, 6, \ldots ) \\ – \cos x & (n=3, 7, \ldots ) \end{cases} $$
つまり、
$$ f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin x $$
$$ f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos x $$
\(x=0\)を代入して、
$$ f^{(2n)}(0) = 0 $$
$$ f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n $$
よって、
$$ \begin{align} \sin x &= x – \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 – \cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} + o(x^{2n+2}) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o( x^{2n+2} ) \end{align}$$
\(\cos x\)
$$ \frac{d^n}{dx^n }\cos x = \begin{cases} \cos x & (n= 0, 4, \ldots ) \\ -\sin x & (n=1, 5, \ldots ) \\ – \cos x & (n=2, 6, \ldots ) \\ \sin x & (n=3, 7, \ldots ) \end{cases} $$
つまり、
$$ f^{(2n)} (x) = (-1)^n \cos x $$
$$ f^{(2n+1)} (x) = (-1)^{n+1} \sin x $$
\(x=0\)を代入して、
$$ f^{(2n)} (0) = (-1)^n $$
$$ f^{(2n+1)} (0) = 0 $$
よって、
$$ \begin{align} \cos x &= 1 – \frac{1}{2} x^2 + \cdots + \frac{(-1)^n}{2n!} x^{2n} + o(x^{2n+1}) \\ &= \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n+1}) \end{align} $$
\( \log (1+x) \)
$$ f(x) = log (1+x) $$
$$ f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} $$
$$ f”(x) = – (1+x) ^{-2} $$
$$ f^{(3)}(x) = 2 (1+x)^{-3} $$
$$ \ldots $$
$$ f^{(n)} (x) = (-1)^{n-1}(n-1)!(1+x)^{-n} $$
よって、\(x=0\)のとき、
$$ f^{(n)}(0) = (-1)^{n-1}(n-1)! $$
つまり、
$$ \begin{align} \log (1+x) &= x – \frac{1}{2} x^2 + \cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n + o(x^n) \\ &= \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k + o(x^n) \end{align} $$
\( (1+x)^{\alpha} \)
$$ \alpha \in \mathbb{R} $$
$$ \binom{\alpha}{n} := \frac{ \alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – (n-1))}{n!} $$
$$ \binom{\alpha}{0} := 1 $$
として、
$$ \begin{align} (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \frac{ \alpha (\alpha -1)}{2} x^2 + \cdots + \binom{\alpha}{n} x^n + o(x^n) \\ &= \sum_{k=0}^{n} \binom{\alpha}{k} x^k + o(x^n) \end{align}$$