$$ 関数y=f(x): 開区間 I で単調かつ微分可能 $$
$$ x = f^{-1}(y): f の逆関数 $$
このとき、
$$ x \in I において f'(x) \neq 0$$
$$ \implies f^{-1}はy=f(x)において微分可能$$
$$ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{f'(x)} $$
証明
$$ (f^{-1})'(y) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{-1}(y+h) – f^{-1}(y)}{h} \tag{1}$$
ここで、
$$ \Delta x = j $$
として、
$$ h = \Delta y = f(x + \Delta x) – f(x) = f(x +j) -f(x) $$
$$ (f^{-1})'(y+h) – f^{-1})'(y) = \Delta x = j $$
$$ j \to 0 \quad (h \to 0) $$
とおくことができる。
よって、
$$ \begin{align} (1) &= \lim_{j \to 0} \frac{j}{f(x+j) – f(x)} \\ &= \lim_{j \to 0} \frac{1}{\frac{f(x+j) – f(x)}{j}} \\ &= \frac{1}{f'(x)} \end{align} $$