収束
\(n \to \infty\)の時、\(a_n\)が一定の値\(\alpha\)に近づくとき、数列\(\{a_n\}\)は、
- \(\alpha\)に収束する
- 極限値\(\alpha\)を持つ
といい、
$$ lim_{n \to \infty} a_n = \alpha $$
$$ a_n \to \alpha \ (n \to \infty) $$
\(\epsilon – N \)論法
数列\(\{a_n\}\)が実数\(\alpha\)に収束する
$$ \forall \epsilon \gt 0 \ \exists N = N(\epsilon) \mbox{ s.t. } n \geq N \implies | a_n – \alpha | \lt \epsilon $$
発散
\(n\)を限りなく大きくすると\(a_n\)が限りなく大きくなることを、数列\(\{a_n\}\)は正の無限大に発散するという。
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = + \infty $$
$$ a_n \to + \infty \ (n \to \infty) $$
$$ \forall K \gt 0 \ \exists N = N(K) \mbox{ s.t. } n \geq K \implies a_n \gt K $$
\(n\)を限りなく大きくすると\(a_n\)が限りなく小さくなることを、数列\(\{a_n\}\)は負の無限大に発散するという。
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = – \infty $$
$$ a_n \to – \infty \ (n \to \infty) $$
$$ \forall K \gt 0 \ \exists N = N(K) \mbox{ s.t. } n \geq K \implies a_n \lt K $$
数列の極限の性質
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha , \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \beta\)の時、次が成り立つ。
$$ \lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \alpha \pm \beta $$
$$ c \in \mathbb{R} \ \lim_{n \to \infty}c a_n = c \alpha $$
$$ \lim_{n \to \infty} a_n b_n = \alpha \beta $$
$$ \beta \neq 0 \ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta} $$
$$ \forall n \in \mathbb{N} \ a_n \leq b_n \implies \alpha \leq \beta $$
挟み撃ちの原理
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha , \ \forall n \in \mathbb{N} \ a_n \leq b_n \leq c_n \implies \lim_{n \to \infty} b_n = \alpha $$