実数の連続性公理の一つである「上に有界な非減少数列は極限値を持つ」の意味を理解する。
まず、集合の上界、下界、有界、最大値、最小値、上限、下限を定義する。
$$ A := \{ \mathbb {R} の空でない部分集合\} $$
とする。例えば、\(A = [-1, 1]\)や\(A = \mathbb {N} \)が考えられる。
また、
$$ a \in \mathbb{R} $$
とする。
上界、下界
$$ a が A の上界 :\iff \forall x \in A に対して x \leq a $$
例えば、\(A = [-1, 1] \)において、
- \(a=2\)は上界の一つである。
- \(a=0\)は上界ではない。
- \(a=-2\)は上界ではない。
$$ a が A の下界 :\iff \forall x \in A に対して x \geq a $$
例えば、\(A = [-1, 1] \)において、
- \(a=2\)は下界ではない。
- \(a=0\)は下界ではない。
- \(a=-2\)は下界の一つである。
有界
$$ A が上に有界 :\iff Aの上界が少なくとも一つ存在する。$$
$$ Aが下に有界 :\iff Aの下界が少なくとも一つ存在する。$$
$$ Aが有界 :\iff Aが上に有界かつAが下に有界 $$
例えば、
$$ A = \{ x \in \mathbb{R} | x \lt 1 \} $$
であれば、
- \(A\)は上に有界である。
- \(A\)は下に有界ではない。
また、
$$ A = \{ x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 1 \} $$
であれば、
- \(A\)は有界である。
最大値、最小値
$$ a が A の最大値 :\iff a \in A かつ a は A の上界 $$
$$ a = \max A と表す。$$
$$ a が A の最小値 :\iff a \in A かつ a は A の下界$$
$$ a = \min A と表す。$$
例えば、
$$ A = \{ x \in \mathbb{R} | -1 \leq x \leq 1 \} $$
であれば、
- \(1\)は\(A\)の上界であり、最大値である。
- \(2\)は\(A\)の上界であるが、最大値ではない。
上限、下限
$$ a が A の上限（最小上界）である :\iff a が A の上界の中の最小値である $$
すなわち、
$$ \forall x \in A に対して x \leq a （上界の定義）$$
$$ \forall \epsilon \gt 0 に対して \exists x \in A \mbox{ s.t } x \gt a – \epsilon $$
$$ a = \sup A と表す。$$
例えば、
$$ A = [-1, 1) $$
であれば、
$$ 1 – \epsilon \lt x \lt 1 $$
$$ 1 – \frac{\epsilon}{2} \lt x \lt 1 $$
$$ 1 – \frac{\epsilon}{3} \lt x \lt 1 $$
のように無限に\(x \in A \)を考えることができるので、
- \(A\)の最大値は存在しない。
- \(A\)の上限は\(1\)である。
$$ a が A の下限（最大下界）である:\iff a が A の下界の中の最大値である $$
すなわち、
$$ \forall x \in A に対して x \geq a （下界の定義）$$
$$ \forall \epsilon \gt 0 に対して \exists x \in A \mbox{ s.t. } x \lt a + \epsilon $$
$$ a = \inf A と表す。$$
数列の有界
$$ \{a_n\}が上に有界 :\iff \{a_n | n \in \mathbb{N} \}が上に有界 $$
$$ \{a_n\}が下に有界 :\iff \{a_n | n \in \mathbb{N} \}が下に有界 $$
$$ \{a_n\}が有界 :\iff \{a_n\}が上に有界かつ下に有界 $$
数列の単調増加、単調減少
$$ \{a_n\} が広義単調増加（非減少）:\iff a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots $$
$$ \{a_n\} が広義単調減少（非増加）:\iff a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots $$
実数の単調性公理
上に有界な非減少数列は極限値を持つ。
数列 \(\{a_n\}\) が広義単調増加、つまり \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots\)で、かつ上に有界、つまりすべての\(n\) に対して \(a_n \leq b \) となるような有限な実数 \(b\) が取れるとき、\(\{a_n\}\)は有限な極限値\(\alpha\) を持つこと、つまり、
$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha \leq b $$
となることを認める。