関数
数学における関数（かんすう、英: function、仏: fonction、独: Funktion、 蘭: functie、羅: functio、函数とも書かれる）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
$$ f: 集合 X の各元 x に対し、集合 Y の各元 y をただ一つ対応させる規則とする $$
このとき、
$$ x \in X に対応する関数 f の値を f(x) と表す。 $$
$$ これが y \in Y に等しいならば y = f(x) と表す。 $$
$$ X を f の定義域という。 $$
$$ E = \{ f(x) | x \in X \} \subset Y を X における f の値域という。$$
一対一関数
$$ f:X \rightarrow Y が一対一である :\iff \forall x, y \in X \ f(x)=f(y) \implies x = y $$
対偶を考えると理解しやすい。
$$ f: x \rightarrow Y が一対一である :\iff \forall x, y \in \ X \ x \neq y \implies f(x) \neq f(y) $$
- \(y=f(x) = x\)は一対一関数である。
- \(y=f(x) = x^2\)は一対一関数ではない。\(f(x)=1\)の時、\(x = \pm 1\)となる。
逆関数
\(f\) が一対一ならば、\( \forall y \in Y \)に対し、\(y = f(x)\)を満たす\( x \)がただ一つ定まる。すなわち関数が一つ定まり、この関数を\( f \)の逆関数\(f^{-1}\)という。
$$ fが一対一 \implies \forall y \in Y, \exists 1 x \in X \mbox{ s.t. } y = f(x) $$
$$ f:X \rightarrow Y に対して、逆関数 f^{-1}:Y \rightarrow X が定まる。$$
関数の有界
$$ 関数 f: X \rightarrow Y (X:定義域, y:値域) とする。$$
単調増加・単調減少
$$ f が非減少 :\iff x_1 \lt x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2) $$
$$ f が単調増加 :\iff x_1 \lt x_2 \implies f(x_1) \lt f(x_2) $$
$$ f が非増加 :\iff x_1 \lt x_2 \implies f(x_1) \geq f(x_2) $$
$$ f が単調減少 :\iff x_1 \lt x_2 \implies f(x_1) \gt f(x_2) $$
関数の有界
$$ f が上に有界 :\iff \exists K \in \mathbb{R} \ \forall x \in X \ f(x) \leq K $$
$$ f が下に有界 :\iff \exists K \in \mathbb{R} \ \forall x \in X \ f(x) \geq K $$
$$ f が有界 :\iff fが上に有界かつ下に有界 $$
- \(y=-x^2\)は上に有界。
- \(y=x^2\)は下に有界。
- \(y= \sin x \)は有界。
関数の極限
\(x\)が\(x \neq a \)かつ\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が\(A\)に限りなく近づく
$$ x \to a のf(x)の極限値はAである$$
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A $$
\(f(x)\)は\(x=a\)で定義されている必要はない。
右極限・左極限
\(x\)が\(x \gt a \)を保ちながら\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が\(A\)に限りなく近づく
$$ x \to a+0 のf(x)の右極限値はAである$$
$$ \lim_{x \to a+0} f(x) = A $$
\(a=0\)のとき
$$ \lim_{x \to +0} f(x) = A $$
\(x\)が\(x \lt a \)を保ちながら\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が\(A\)に限りなく近づく
$$ x \to a-0 のf(x)の左極限値はAである$$
$$ \lim_{x \to a-0} f(x) = A $$
\(a=0\)のとき
$$ \lim_{x \to -0} f(x) = A $$
また、
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \iff \lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a-0}f(x) = A $$
\(\infty\)の極限値
\(x\)を正の方向に限りなく大きくしたとき\(f(x)\)が限りなく\(A\)に近づく
$$ x \to +\infty の f(x)の極限値は A である $$
$$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = A $$
\(x\)を負の方向に限りなく小さくしたとき\(f(x)\)が限りなく\(A\)に近づく
$$ x \to -\infty の f(x)の極限値は A である $$
$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = A $$
関数の発散
\(x\)が\(x \neq a \)かつ\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が限りなく大きくなる
$$ x \to a のf(x)は正の無限大に発散する $$
$$ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty $$
\(x\)が\(x \neq a \)かつ\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が限りなく小さくなる
$$ x \to a のf(x)は負の無限大に発散する $$
$$ \lim_{x \to a} f(x) = – \infty $$
\(x\)が\(x \gt a \)を保ちながら\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が限りなく大きくなる（小さくなる）
$$ x \to a+0 のf(x)は正（負）の無限大に発散する$$
$$ \lim_{x \to a+0} f(x) = \infty ( – \infty ) $$
\(x\)が\(x \lt a \)を保ちながら\(a\)に限りなく近づくとき\(f(x)\)の値が限りなく大きくなる（小さくなる）
$$ x \to a-0 のf(x)は正（負）の無限大に発散する$$
$$ \lim_{x \to a-0} f(x) = \infty ( – \infty ) $$
\(x\)を正の方向に限りなく大きくしたとき\(f(x)\)が限りなく大きく（小さく）なる
$$ x \to \infty のf(x)は正（負）の無限大に発散する$$
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty ( – \infty ) $$
\(x\)を負の方向に限りなく小さくしたとき\(f(x)\)が限りなく大きく（小さく）なる
$$ x \to -\infty のf(x)は正（負）の無限大に発散する$$
$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty ( – \infty ) $$
\(\epsilon – \delta\)論法
関数の極限は\(\epsilon – \delta\)論法を使い厳密に定義される。
\(f(x)\)は\(a \in \mathbb{R}\)を含む開区間の\(a\)を除く各点で定義されているものとする。
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A :\iff \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta = \delta(\epsilon) \gt 0 \mbox{ s.t. } 0 \lt |x-a| \lt \delta \implies |f(x)-A| \lt \epsilon $$
$$ \lim_{x \to +a} f(x) = A :\iff \forall \epsilon \gt 0 \ \exists \delta = \delta(\epsilon) \gt 0 \mbox{ s.t. } 0 \lt (x-a) \lt \delta \implies |f(x)-A| \lt \epsilon $$
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = A :\iff \forall \epsilon \gt 0 \ \exists K = K(\epsilon) \gt 0 \mbox{ s.t. } x \gt K \implies |f(x)-A| \lt \epsilon $$
$$ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty :\iff \forall M \gt 0 \ \exists \delta = \delta(M) \gt 0 \mbox{ s.t. } 0 \lt |x-a| \lt \delta \implies f(x) \gt M $$
関数の極限の性質
\(lim_{x \to a} f(x) = A, lim_{x \to a} g(x) = B\)とする。
$$ \lim_{x \to a} ( f(x) \pm g(x)) = A \pm B $$
$$ c \in \mathbb{R} \ \lim_{x \to a} cf(x) = cA $$
$$ \lim_{x \to a} f(x)g(x) = AB $$
$$ B \neq 0 \ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $$
$$ \forall x \neq a \ f(x) \leq g(x) \implies A \leq B $$
挟み撃ちの原理
\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = A\) かつ \(\forall x \neq a \ f(x) \leq g(x) \leq h(x)\)ならば、\(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = A\)
近傍で有界
近傍で有界
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \implies f(x) は x=a の近傍で有界 $$
すなわち、
$$ \exists K \gt 0, \exists \delta \gt 0 \mbox{ s.t. } 0 \lt |x-a| \lt \delta \implies |f(x)| \leq K $$
近傍で正
$$ \lim_{x \to a} f(x) = A \gt 0 \implies f(x) は x=a の近傍で正 $$
すなわち、
$$ \exists C \gt 0, \exists \delta \gt 0 \mbox{ s.t. } 0 \lt |x-a| \lt \delta \implies f(x) \geq C $$
有界かつ非減少な関数
\(x \in [0, \infty)\)において定義される関数\(f\)が上に有界かつ非減少ならば\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)\)が存在する。
証明
$$ 数列 \{f(n)\}_{n=1}^{\infty}は上に有界かつ非減少$$
$$ \implies 実数の連続性の公理により収束 $$
$$ \implies 極限値 \alpha が存在 $$
すなわち、
$$ \forall \epsilon \gt 0 \ \exists N = N(\epsilon) \mbox{ s.t. } n \geq N \implies |f(n) – \alpha| \lt \epsilon \tag{1} $$
このとき、
$$ \forall x \geq N \ \exists n \in \mathbb{N} \mbox{ s.t. } n \leq x \lt n+1 $$
\(f\)は非減少なので、
$$ f(n) \leq f(x) \leq f(n+1) \tag{2}$$
\((1), (2)\)より、
$$ \alpha – \epsilon \lt f(n) \leq f(x) \leq f(n+1) \lt \alpha + \epsilon $$
$$ | f(x) – \alpha | \lt \epsilon $$
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \alpha $$