解析学において、広義積分（こうぎせきぶん、英: improper integral）とは何らかの定積分の積分区間を動かしたときの極限である。
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リーマン積分
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$
は、有界な区間\( I = [a, b] \)において、\(f(x)\)が\(I\)において有界な場合の積分である。
そうでない場合、例えば、積分区間が有限でない関数の積分、
$$ \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx $$
や、被積分関数が積分区間において有界でない関数の積分、
$$ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx $$
を扱うのが広義積分である。
積分区間が有限でない場合
$$ \int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim_{b \to \infty } \int_{a}^{b} f(x) dx $$
最初に有限区間\([a, b]\)での積分を考えて、\(b \to \infty\)の極限を取る。
$$ \int_{- \infty}^{b} f(x) dx = \lim_{a \to – \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx $$
極限値が存在すれば、広義積分は収束する。
広義積分が収束しない場合は、広義積分は発散する。
$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx &= \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} dx \\ &= \lim_{b \to \infty} [ – e^{-x} ]_{0}^{b} = – \lim_{b \to \infty} e^{-b} + 1 = 1 \end{align} $$
$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \cos x dx &= \lim_{b \to \infty } \int_{0}^{b} \cos dx \\ &= \lim_{b \to \infty} [ \sin x]_{0}^{b} = \lim_{b \to \infty} \sin b \end{align} $$
よって、発散する。
\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx \)の広義積分
任意の一点\(c\)をとり、
$$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{\infty} f(x) dx $$
それぞれの積分が収束する場合は、それらの値の和は\(c\)の値によらない。
置換積分・部分積分
極限を取る前に、置換積分や部分積分は通常の積分と同じように行う。
置換積分
$$ \int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} x e^{-x^2} dx $$
\( t = x^2\)として、\( \frac{dt}{dx} = 2x\)
$$ \begin{array} {c|ccc} \hline x & 0 & \cdots & b \\ \hline t & 0 & \cdots & b^2 \\ \hline \end{array} $$
$$ \begin{align} \int_{0}^{b} x e^{-x^2} dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{b^2} e^{-t} dt \\ &= \frac{1}{2} [-e^{-t}]_{0}^{b^2} = \frac{1}{2}( 1 – e^{-b^2}) \end{align} $$
$$ \therefore \int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \frac{1}{2}( 1 – e^{-b^2}) = \frac{1}{2} $$
部分積分
$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx &= \int_{0}^{\infty} x (- e^{-x})’ dx \\ &= [ – x e^{-x} ]_{0}^{\infty} – \int_{0}^{\infty} (- e^{-x}) dx \\ &= [ – x e^{-x} ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} (e^{-x}) dx\end{align} $$
ここで、\( r \geq 0, a \gt 1\)のとき、
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{x^r}{a^x} = 0 $$
より、
$$ \lim_{x \to \infty} ( -x e^{-x} ) = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{e^x} = 0 $$
$$ \begin{align} \therefore \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx &= [ – x e^{-x} ]_{0}^{\infty} + [-e^{-x}]_{0}^{\infty} \\ &= (0-0) + {0-(-1)} = 1 \end{align} $$
被積分関数が有界でない場合
積分区間の下端が発散、つまり、\(\lim_{x \to a+0} f(x)\)が発散するとき、
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a+ \epsilon}^{b} f(x) dx $$
積分区間の上端が発散、つまり、\(\lim_{x \to b-0} f(x)\)が発散するとき、
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to +0} \int_{a}^{b- \epsilon} f(x) dx $$
極限値が存在すれば、広義積分は収束する。
広義積分が収束しなければ、広義積分は発散する。
積分区間の両端が有界でない場合も同様に考える。
$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \lim_{a \to 0+0 \ b \to 1-0} \int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} $$
区間内に有界でない点（特異点）があるときは、そこで区間を分割する。
$$ \begin{align} \int_{-1}-{1} \frac{dx}{| x |^{\frac{1}{2}} } &= \int_{-1}^{0} \frac{dx}{(- x )^{\frac{1}{2}} } + \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\frac{1}{2}} } \\ &= \lim_{b \to -0} \int_{-1}^{b} \frac{dx}{(- x )^{\frac{1}{2}} } + \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \frac{dx}{x^{\frac{1}{2}} } \\ &= \lim_{b \to -0} [ -2 (- x )^{\frac{1}{2}} ]_{-1}^{b} + \lim_{a \to +0} [ 2 x^{\frac{1}{2}} ]_{a}^{1} \\ &= -2(0-1) + 2(1-0) = 4 \end{align} $$
$$ \begin{align} \int_{-1}^{1} \frac{dx}{x} &= \lim_{a \to +0} \int_{-1}^{-a} \frac{dx}{x } + \lim_{b \to +0} \int_{b}^{1} \frac{dx}{x} \\ &= \lim_{a \to +0} [ \log |x| ]_{-1}^{a} + \lim_{b \to +0} [ \log |x| ]_{b}^{1} \\ &= \lim_{a \to +0} \log a + \lim_{b \to +0} ( – \log b ) = – \infty + \infty \end{align} $$
発散する。
数学において、コーシーの主値（英: Cauchy principal value）とは、ある種の広義積分に対して定められる値のことである。
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ただし、\(a = b = \epsilon \gt 0\)とすると、
$$ \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{dx}{x } + \int_{\epsilon}^{1} \frac{dx}{x} = \log \epsilon + ( – \log \epsilon ) = 0 $$
$$ \therefore \lim_{\epsilon \to +0} \left( \int_{-1}^{-\epsilon} \frac{dx}{x } + \int_{\epsilon}^{1} \frac{dx}{x} \right) = 0 $$
$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \lim_{a \to 0+0 \ b \to 1-0} \int_{a}^{b}\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} $$
\( t = \sqrt{x}\)とおくと、\(\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \)となる。
$$ \begin{array} {c|ccc} \hline x & 0 & \cdots & 1 \\ \hline t & 0 & \cdots & 1 \\ \hline \end{array} $$
$$ \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = 2 \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} $$
$$ \begin{align} \lim_{a \to 0+0 \ b \to 1-0} 2 \int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} &= 2 \lim_{a \to 0+0 \ b \to 1-0} [ \arcsin t ]_{a}^{b} \\ &= 2(\frac{\pi}{2} -0) = \pi \end{align} $$