現代ポートフォリオ理論の効率的フロンティアについて理解します。
wikipedia の内容を、自分レベルでも理解できるようにかみ砕いていきます。
現代ポートフォリオ理論
現代ポートフォリオ理論(げんだいポートフォリオりろん、英: Modern portfolio theory, MPT)とは、金融資産への投資比率(ポートフォリオ)を決定する理論。1952年にハリー・マーコウィッツによって発表された論文[1]を端緒として研究が進められた。投資におけるポートフォリオの収益率の平均 (期待値) と分散のみをコントロールするという特徴がある。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
平均分散分析(mean-variance analysis) と言われる分析方法を扱います。
それぞれの金融資産の期待収益(平均)と分散は異っているので、それらを組み合わせることで、単一の金融資産より、分散は小さく期待収益率は高くする方法です。
ここで、リスクと分散は同じ意味で使われます。
以下を前提として仮定します。
- 投資家はリスク回避的であり、期待収益が同じならリスクが小さい方が良いとする。
- 投資収益率は、平均μ分散σ2の正規分布に従う。
「分散を所与として、期待収益率がもっとも高くする資産の組み合わせ」または「期待収益率を所与として、分散を最も小さくする資産の組み合わせ」を求める方法を考えます。
投資収益率の平均や分散は過去のデータから導きだされた固定的なパラメータとして扱う静的なモデルです。
金融資産の所持割合 wi
ある金融資産iの所持の割合、つまり重み weight を、wiとします。これは比率なので、n∑i=1wi=1になります。
例えば、100万円の資産でトヨタ株を50万円みずほ株を50万円持つ場合、それぞれのwは0.5 になります。
収益率 ri
ある金融資産iの収益率をriとします。ri は以下のようにして求めます。
ri=AssetPricen–AssetPricen−1AssetPricen−1
n を年で考えれば年次の収益率、日で考えれば日次の収益率となります。
収益率を正規分布として矛盾なく考えるため、通常は収益率の対数をとった以下のような対数収益率を、収益率として用います。
ri= log(AssetPricenAssetPricen−1)
このように定義することで、対数収益率は収益率が正の場合は0より大きく、ゼロの場合は0に、収益率が負の場合は0より小さくなります。
極端な例として、倒産した場合、通常の収益率では −1 、対数収益率では–∞となることを考えると、対数収益率を使う理由が理解しやすいです。
期待収益率 μi
ある金資産iの期待収益率μiは、Eを期待値として、以下のように求まります。
μi=E(ri)
ポートフォリオの期待収益率
ポートフォリオの期待収益率 μpは、 ある金融資産iの所持割合 wi と収益率 riを使って、以下のように表現できます。
μp=E(∑iwi⋅ri)
これは以下のように式変形できます。
μp=E(∑iwi⋅ri)=∑iwi⋅E(ri)=∑iwi⋅μi=wTμ
収益率の分散と共分散
ある金融資産iの収益率の分散σ2iは、以下のように求まります。
σ2i=E[(ri–μi)2]
また、 ある金融資産iの収益率とある金融資産jの収益率の共分散σijは、以下のように求まります。
σij=E[(ri–μi)(rj–μj)]
共分散は、2つの金融資産の収益率がともにどのように変化するかを計る指標で、 σij>0 であれば2つの金融資産の収益率は同じ方向に動く傾向があり、 σij<0であれば2つの金融資産の収益率は逆に動く傾向があります。
ポートフォリオの収益率の分散
2つの金融資産A Bのポートフォリオの収益率の分散σ2pを考えます。
σ2p=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBσAB
上式はさらに以下のように変形できます。
σ2p=w2Aσ2A+w2Bσ2B+2wAwBσAB=(wAwB)(σ2AσABσABσ2B)(wAwB)
n個の金融資産について一般化します。
n個の金融資産の収益率の分散共分散行列をΩとします。
Ω=(σ21σ12…σ1nσ21σ22…σ2n⋮⋮⋱⋮σn1σn2…σ2n)
ポートフォリオの収益率の分散 σ2p は以下のようになります。
σ2p=wTΩw
効率的フロンティア
wを様々な値に変化させた場合のポートフォリオの期待収益率と収益率の関係を、以下のようなリスク・リターン平面として図示することができます。
この中で、分散を所与とした時に期待収益率を最大化する点の集合を効率的フロンティアと呼び、それぞれがある分散を所与とした場合の、またはある期待収益率を所与とした場合の、望ましいポートフォリオになります。