以下の理解が前提となります。
シャープレシオ
シャープ・レシオ(英: Sharpe ratio)とは投資の効率性を測る指標。1966年にウィリアム・シャープにより提案された[1]。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
シャープレシオは、あるポートフォリオの期待収益率とその分散（リスク）を、安全資産（無リスク資産）と比較することで、そのポートフォリオの効率性を計る指標です。
あるポートフォリオ\(x\)が与えらえれた場合の期待収益率を\(r_x\)、ポートフォリオの標準偏差を安全資産の期待収益率（つまり金利）を\(r_f\)とおくと、シャープレシオ\(S(x)\) は以下のように定義されます。
$$ S(x) = \frac { r_x – r_f} { StdDev(x)} $$
ポートフォリオの期待収益率が大きいほど、またはポートフォリオの標準偏差（つまり分散、リスク）が小さいほど、シャープレシオは大きい値になります。
現代ポートフォリオ理論では、資産の所有割合\( \boldsymbol{ w } \) 、期待収益率\( \boldsymbol{ \mu} \)、収益率の分散共分散行列を\( \boldsymbol{ \Omega} \)とおいて、ポートフォリオの期待収益率 \( {\mu}_p \)、分散\( {\sigma}_p^2 \) を以下のように求めることができます。
$$ {\mu}_p = {\boldsymbol{ w }}^{ \mathrm{ T }} {\boldsymbol{ \mu} } $$
$$ {\sigma}_p^2 = {\boldsymbol{ w }}^{ \mathrm{ T }} {\boldsymbol{ \Omega} \boldsymbol{ w } } $$
よって、現代ポートフォリオ理論でのシャープレシオ\(S_p\)も具体的に求めることができます。\( r_f \)には先進国の国債金利を使います。
$$ S_p = \frac { {\mu}_p – r_f } { \sqrt {{\sigma}_p^2 } } $$
シャープレシオと効率的フロンティア
現代ポートフォリオ理論において、それぞれの資産割合を変化させ、分散を所与とした時に期待収益率を最大化する点の集合を効率的フロンティアと呼びます。
シャープレシオという観点を使うことで、効率的フロンティアの中から、資産効率の高いポートフォリオを選択することができます。
資本分配線
シャープレシオは、リスク資産と無リスク資産の対比で導出されるので、以下のように安全資産とその他の資産を分離します。
リスク資産からなるポートフォリオの収益率を\( {\displaystyle R_{p}}\)とし、自己の資金をリスク資産からなるポートフォリオへ\( {\displaystyle 100\alpha }\)パーセント投資し、無リスク資産へ\( {\displaystyle 100(1-\alpha )}\)パーセント投資するポートフォリオの収益率を \({\displaystyle R_{c}}\)すれば、期待収益率と収益率の標準偏差について以下のような関係が成立します。
$$ {\displaystyle E (R_{c})=(1-\alpha )r_{\mathrm {f} }+\alpha {E} (R_{p})} $$
$$ {\displaystyle \sigma _{c}={\sqrt { Var (R_{c})}}=\alpha {\sqrt { Var(R_{p})}}=\alpha \sigma _{p}} $$
この2式から\( {\displaystyle \alpha } \)を消去して変形すると次のようになります。
$$ {\displaystyle E (R_{c})=r_{\mathrm {f} }+{\frac {E (R_{p})-r_{\mathrm {f} }}{\sigma _{p}}}\sigma _{c}} $$
ここで、\( {\frac {E (R_{p})-r_{\mathrm {f} }}{\sigma _{p}}} \) は、リスク資産からなるポートフォリオのシャープレシオ\(S_p\)なので、上式は以下のようになります。
$$ {\displaystyle E (R_{c})=r_{\mathrm {f} }+ S_p \sigma _{c}} $$
この直線を、現代ポートフォリオ理論における資本分配線と呼びます。
資本分配線をリスクリターン平面状で考えると下のようになり、シャープ・レシオは安全資産(リスクが0でリターンが利子率)の位置する点とリスク資産ポートフォリオの位置する点を通る直線の傾きとなっています。
接点ポートフォリオ
シャープレシオが大きいほど資産効率が良いと考えると、資本分配線と効率的フロンティアの接点で資本分配線の傾きは最大になる、つまりシャープレシオが最大になります。
この点のポートフォリオを接点ポートフォリオと呼び、現代ポートフォリオ理論でシャープレシオという観点から、最も効率性の高い資産ポートフォリオになります。
上図で言うと塗りつぶされた点が接点ポートフォリオです。
また、接点ポートフォリオを通る資産配分線で、接点ポートフォリオは全財産をリスク資産に投じている状態、接点ポートフォリオより左側に位置する点は無リスク資産に投資を行っている状態、右側に位置する点はレバレッジをかけて（お金を借りて）投資を行っている状態と考えることができます。