アービトラージ

アービトラージとは、必ず損をすることはないポートフォリオで、かつ利益のでる可能性のあるものです。

平たく言えば「必ず儲かる」ポートフォリオのことです。

あるポートフォリオの時点$t$での価値を$V(t)$とすると、

$$ V(0) \leq 0 $$

であり、ある時点$T \gt 0 $では、

$$ Prob(V(T) \lt 0) = 0 \quad かつ \quad Prob(V(T) \gt 0) \gt 0 \tag{1}$$

となるポートフォリオがアービトラージです。

$(1)$の最初の式は損することはないことを、次の式は利益の出る可能性のあることを表しています。

アービトラージが存在する時は、「高いものをショート（売り）、安いものをロング（買い）」します。

具体的に考えます。

ある株の価格$P_A(t)$、$P_B(t)$、$P_C(t)$について、時点$0$での価格が以下のようになっているとします。

$P_A(0)$	$P_B(0)$	$P_C(0)$
100	200	450

時点0でのそれぞれの価格

これが時点$1$で、状態$1$か状態$2$の価格に変化するとします。

	$P_A(1)$	$P_B(1)$	$P_C(1)$
状態$1$	200	300	700
状態$2$	110	50	270

時点1でのそれぞれの価格は状態1か状態2

時点$1$での価格は、状態$1$状態$2$のどちらでも

$$ 2 \cdot P_A(1) + P_B(1) = P_C(1) $$

となりますが、

時点$0$での価格は、

$$ 2 \cdot P_A(0) + P_B(0) \lt P_C(0) $$

となり、$C$が過大評価されアービトラージが生じています。

時点$0$で、「高いものをショート（売り）、安いものをロング（買い）」に従い、$C$を一単位ショートし、$A$2単位と$B$1単位をロングします。

$$ V(t) = 2 \cdot P_A(t) + P_B(t) – P_C(t) + 50$$

時点$1$で状態$1$の時、ポジションを解消します。

$$ V(1) = 2 \cdot 200 + 300 – 700 + 50 = 50$$

時点$1$で状態$2$の時、ポジションを解消します。

$$ V(1) = 2 \cdot 110 + 50 – 270 + 50 = 50$$

どちらの状態になっても、50 の利益が出ます。

	\(P_A(1)\)	\(P_B(1)\)	\(P_C(1)\)
状態\(1\)	200	300	700
状態\(2\)	110	50	270