\(n\)個の資産で構成されるポートフォリオの時点\(t\)での価値\(V(t)\)は、ポートフォリオを構成する資産\(i\)の時点\(t\)での単位当たりの価値\(S_i(t)\)、所有量\({\alpha}_i\)とすると、それぞれの資産価値\({\alpha}_i S_i(t)\)の総和になるので、以下のように表すことができます。
$$ V(t) = \displaystyle \sum_{i=1}^n {\alpha}_i S_i(t) $$
リスクフリーの連続利子率を\(0.05\)、ある資産\(Z\)の価格が現在100円であるとして、ロング/ショートのポジションを取るとポートフォリオがどのように変化するか、具体的に考えてみます。
ロング
ロングとは資産の購入を意味します。
資産\(Z\)で50単位のロングポジションを取るとすると、つまり50単位購入することを意味するので、\(V(0) = 0\)、つまり初期資産が0の場合は、購入資金を5000円借りて購入することになります。
その場合のポートフォリオの時点\(t\)の価値は以のようになります。
$$ V(t) = 50 \cdot S_z(t) – 5000 e^{0.05 \cdot t} $$
1年後にポジションを全て解消する時、資産\(Z\)の価格が150円になっているとするとポートフォリオの価値は以下のようになります。
$$ V(t) = 50 \cdot 150 – 5000 e^{0.05 \cdot 1} = 7500 – 5256 \fallingdotseq 2244 $$
資産\(Z\)の価格が50円に値下がりしたとすると、ポートフォリオの価値は以下のようになります。
$$ V(t) = 50 \cdot 50 – 5000 e^{0.05 \cdot 1} = 2500 – 5256 \fallingdotseq -2726 $$
当然ながら、ロングポジションを取ると、所有資産が値上がりすれば利益に、値下がりすれば損失になります。
ショート
ショートは資産の売却を意味します。
ある資産\(Z\)の価格が現在100円であるとします。
50単位のショートポジションを取るとすると、つまり50単位売却することを意味するので、\(V(0) = 0\)、つまり初期資産が0の場合は、資産\(Z\)を50単位借りて売却することになります。
$$ V(t) = -50 \cdot S_z(t) + 5000 e^{0.05 \cdot t} $$
1年後にポジションを全て解消する時、資産\(Z\)の価格が150円になっているとするとポートフォリオの価値は以下のようになります。
$$ V(t) = -50 \cdot 150 + 5000 e^{0.05 \cdot 1} = -7500 + 5256 \fallingdotseq -2244 $$
逆に、資産\(Z\)の価格が50円に値下がりしたとすると、ポートフォリオの価値は以下のようになります。
$$ V(t) = – 50 \cdot 50 + 5000 e^{0.05 \cdot 1} = -2500 + 5256 \fallingdotseq 2726 $$
ロングとは逆に、ショートポジションは、値上がりすれば損失に、値下がりすれば利益になります。
ロング/ショートの組み合わせ
ロングとショートを組み合わせてみます。
\(A\)社の株が時点\(0\)で200円/株、\(B\)社の株が時点\(0\)で150円/株、リスクフリーの連続利子率5%、\(A\)社は過大評価されているとして100株ショート、\(B\)社は過小評価されているとして100株ロングしたとします。
\(A\)社のショートで現金は\(200 \cdot 100 = 20000\)円増え、\(B\)社のロングで現金は\(150 \cdot 100 = 15000\)円減るので、時点\(t\)でのポートフォリオの価値は以下のようになります。
$$ V(t) = -100 \cdot S_A(t) + 100 \cdot S_B(t) + 5000 \cdot e^{0.05 \cdot t} $$
\(t=1\)時点で、目論見通り\(A\)社の株が時点\(0\)で100円/株、\(B\)社の株が時点\(0\)で300円/株になったとします。
\(A\)社のショートのみを解消するとします。
\(A\)社の株を買い戻して返却するため\(100 \cdot 100 = 10000\)円の現金が必要ですが、手持ちの現金が\(5000 \cdot e^{0.05 \cdot 1} = 5256\)円しかないので、\(B\)社の株を16株売却して\(16 \cdot 300 = 4800\)円手に入れます。
この場合、ポートフォリオの価値は\(t \gt 1\)で以下のように変化します。
$$ V(t) =84 \cdot S_B(t) + 56 \cdot e^{0.05 \cdot (t-1)} $$