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ロング/ショートによるポートフォリオの価値

n個の資産で構成されるポートフォリオの時点tでの価値V(t)は、ポートフォリオを構成する資産iの時点tでの単位当たりの価値Si(t)、所有量αiとすると、それぞれの資産価値αiSi(t)の総和になるので、以下のように表すことができます。

V(t)=ni=1αiSi(t)

リスクフリーの連続利子率を0.05、ある資産Zの価格が現在100円であるとして、ロング/ショートのポジションを取るとポートフォリオがどのように変化するか、具体的に考えてみます。

ロング

ロングとは資産の購入を意味します。

資産Zで50単位のロングポジションを取るとすると、つまり50単位購入することを意味するので、V(0)=0、つまり初期資産が0の場合は、購入資金を5000円借りて購入することになります。

その場合のポートフォリオの時点tの価値は以のようになります。

V(t)=50Sz(t)5000e0.05t

1年後にポジションを全て解消する時、資産Zの価格が150円になっているとするとポートフォリオの価値は以下のようになります。

V(t)=501505000e0.051=750052562244

資産Zの価格が50円に値下がりしたとすると、ポートフォリオの価値は以下のようになります。

V(t)=50505000e0.051=250052562726

当然ながら、ロングポジションを取ると、所有資産が値上がりすれば利益に、値下がりすれば損失になります。

ショート

ショートは資産の売却を意味します。

ある資産Zの価格が現在100円であるとします。

50単位のショートポジションを取るとすると、つまり50単位売却することを意味するので、V(0)=0、つまり初期資産が0の場合は、資産Zを50単位借りて売却することになります。

V(t)=50Sz(t)+5000e0.05t

1年後にポジションを全て解消する時、資産Zの価格が150円になっているとするとポートフォリオの価値は以下のようになります。

V(t)=50150+5000e0.051=7500+52562244

逆に、資産Zの価格が50円に値下がりしたとすると、ポートフォリオの価値は以下のようになります。

V(t)=5050+5000e0.051=2500+52562726

ロングとは逆に、ショートポジションは、値上がりすれば損失に、値下がりすれば利益になります。

ロング/ショートの組み合わせ

ロングとショートを組み合わせてみます。

A社の株が時点0で200円/株、B社の株が時点0で150円/株、リスクフリーの連続利子率5%、A社は過大評価されているとして100株ショート、B社は過小評価されているとして100株ロングしたとします。

A社のショートで現金は200100=20000円増え、B社のロングで現金は150100=15000円減るので、時点tでのポートフォリオの価値は以下のようになります。

V(t)=100SA(t)+100SB(t)+5000e0.05t

t=1時点で、目論見通りA社の株が時点0で100円/株、B社の株が時点0で300円/株になったとします。

A社のショートのみを解消するとします。

A社の株を買い戻して返却するため100100=10000円の現金が必要ですが、手持ちの現金が5000e0.051=5256円しかないので、B社の株を16株売却して16300=4800円手に入れます。

この場合、ポートフォリオの価値はt>1で以下のように変化します。

V(t)=84SB(t)+56e0.05(t1)