アービトラージと一物一価

一物一価の原則

財$A$と$B$の時点$t$での価格を$P_A(t)$、$P_B(t)$とします。

ある時点$T \gt 0 $で$Prob(P_A(T)=P_B(T))=1$が成り立つ時、$P_A(0)=P_B(0)$であるか、またはアービトラージが存在します。

アービトラージが存在しないと仮定すると、$P_A(0)=P_B(0)$になります。

あるポートフォリオの時点$t$での価値を$V(t)$とすると、

$$ V(0) \leq 0 $$

であり、ある時点$T \gt 0 $では、

$$ Prob(V(T) \lt 0) = 0 \quad かつ \quad Prob(V(T) \gt 0) \gt 0 $$

となるポートフォリオがアービトラージです。

$P_A(0) \neq P_B(0)$の時、アービトラージが存在することを証明します。

$P_A(0) \neq P_B(0)$とは、$P_A(0) \gt P_B(0)$または$P_A(0) \lt P_B(0)$です。

まず、$P_A(0) \gt P_B(0)$を考えます。

$t=0$の時点で、$A$をショート、$B$をロングしたポートフォリオの価値$V(t)$は、$t \gt 0$で利子率$r$を使い以下のように表せます。

$$ V(t) = – P_A(t) + P_B(t) + [P_A(0) – P_B(0)]e^{rt} $$

ここで、ある時点$T $で$Prob(P_A(T)=P_B(T))=1$が成り立つので、時点$T $でポジションを解消します。

$$ \begin{align} V(T) &= – P_A(T) + P_B(T) + [P_A(0) – P_B(0)]e^{rT} \\ &= [P_A(0) – P_B(0)]e^{rT} \end{align}$$

$P_A(0) \gt P_B(0)$なので、$[P_A(0) – P_B(0)]e^{rT} \gt 0$であり、アービトラージになっています。

$P_A(0) \lt P_B(0)$の場合も同様に考えます。

よって、ある時点$T \gt 0 $で$Prob(P_A(T)=P_B(T))=1$が成り立つ時、$P_A(0)=P_B(0)$であるか、またはアービトラージが存在します。