$$ \mathbb{ R } := 実数全体の集合 $$
\(a, b \in \mathbb {R} \)、 \(a, b\)は有限、\(a < b \)とする。
閉区間\([a, b]\)、開区間\((a, b)\)
$$ [a, b] = \{ x| a \leq x \leq b \} $$
$$ [a, b) = \{ x| a \leq x \lt b \} $$
$$ (a, b] = \{ x| a \lt x \leq b \} $$
$$ (a, b) = \{x|a \lt x \lt b \} $$
$$ [a, +\infty ) = \{x|a \leq x \lt +\infty \} $$
$$ (a, +\infty ) = \{x|a \lt x \lt +\infty \} $$
$$ (-\infty, a] = \{x|-\infty \lt x \leq a \} $$
$$ (-\infty, a) = \{x|-\infty \lt x \lt a \} $$
$$ (-\infty, +\infty) = \mathbb{R} $$
実数の構成
自然数
自然数（しぜんすう、英: natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ここでは、自然数に0は含まれないとする。
$$ \mathbb {N} = \{1, 2, 3, \ldots \} $$
整数
数学における整数（せいすう、英: integer, whole number, 独: Ganze Zahl, 仏: nombre entier, 西: número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
自然数に、加法に関する単位元0、\(a \in \mathbb {N} \)に対し\(a+b=0\)になる数\(b\)を\(-a\)と表す数を加えたもの。
$$ \mathbb {Z} = \{0, 1, -1, 2, -2, \ldots \} $$
有理数
有理数（ゆうりすう、英: rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
\(m, n \in \mathbb {Z} \)、\(m, n\)は互いに素、\(n \neq 0 \)に対して、\(\frac {m}{n} \)で表される数。
$$ \mathbb {Q} = \{ {m \over n} \mid m,n \in \mathbb {Z} , n \neq 0 \}$$
無理数
無理数（むりすう、 英: irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数（比 = 英: ratio）として表すことのできない実数を指す。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、ほとんど全ての実数は無理数である。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
辺の長さが1である正方形の対角線の長さである\(a^2 = 2\)を満たす\(a\)とはどのような数か？
区間縮小法
\(a^2 = 2\)で考える。
\(1^2 = 1, 2^2=4 \)なので、
$$ 1^2 \lt a^2 \lt 2^2 $$
$$ 1 \lt a \lt 2 $$
\(1.4^2 = 1.96, 1.5^2=2.25 \)なので、
$$ 1.4^2 \lt a^2 \lt 1.5^2 $$
$$ \frac{14}{10} \lt a \lt \frac{15}{10} $$
\(1.41^2 = 1.9881, 1.42^2=2.0164 \)なので、
$$ \frac{141}{100} \lt a \lt \frac{142}{100} $$
このように\(a\)の存在する区間を考えると、この区間の幅をどんどんと狭めることができる。
より一般的に、
$$ 区間の列 I_n = [a_n, b_n] $$
$$ 区間の幅 |I_n| = b_n – a_n $$
$$ I_1 \supseteq I_2 \supseteq I_3 \ldots \supseteq I_n \supseteq I_{n+1} \supseteq \ldots $$
$$ n \to \inftyのとき|I_n| \to 0 とする。$$
この時、全ての区間\(I_n\)にただ一つの点\(a\)が共通して存在することを認め、これを一つの実数とする。
つまり、ある\(a\)が存在して、
$$ \bigcap _{n=1}^{\infty} I_n = \{a\} $$
を満たす。
これは、実数の連続性公理の一つの表し方である。