数学における集合 (しゅうごう、英: set, 仏: ensemble, 独: Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、英: element; 要素) という。
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ある規則によって集められたものの集まりのこと。
集合は、大文字のアルファベットを使う。
$$ A, B, \ldots $$
元は、小文字のアルファベットを使う。
$$ a, b, x, y, \ldots $$
\(a\)は\(A\)に属する。
$$ a \in A $$
\(a\)は\(A\)に属さない。
$$ a \notin A $$
AはBの部分集合である。
$$ AはBの部分集合である。: \iff x \in A \implies x \in B $$
AとBが等しい。
$$ A \subset B かつ B \subset A \iff A=B $$
集合の記述法
外延的記法
$$ \{1, 3, 5, 7, 9\} $$
内包的記法
$$ \{x | xは10未満の正の奇数\} $$
和集合
“cup”
$$ A \cup B = \{x| x \in A または x \in B \} $$
$$ \bigcup_{n=1}^{k} A_n = \{x| あるi \in \{1, \ldots , k \} が存在してx \in A_i \} $$
積集合
“cap”
$$ A \cap B = \{x| x \in A かつ x \in B \} $$
$$ \bigcap_{n=1}^{k} A_n = \{ x| すべてのi \in \{1, \ldots , k \}に対してx \in A_i \} $$
差集合
$$ A \setminus B = \{x| x \in A かつ x \notin B \} $$