定義
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
$$ f(x): 点 x=a とその近傍で定義されている $$
$$ f(x) が点 x= a で連続である : \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
$$ f(x) : 区間 I で定義されている $$
$$ f(x) が区間 I で連続である : \iff f(x) は I の任意の点で連続である $$
点\(a\)が区間\(I\)の端点である場合「片側からの極限」のみを考える。
$$ f(x) : I = [a, b]で定義されている $$
$$ f(x)は x=a で(右)連続 :\iff \lim_{x \to a+} f(x) = f(a) $$
$$ f(x)は x=b で(左)連続 :\iff \lim_{x \to b-} f(x) = f(b) $$
性質
関数\(f(x), g(x)\)が\(x=a\)において連続のとき、以下が成り立つ。
$$ f(x) \pm g(x) は x=a において連続 $$
$$ c \in \mathbb{R} のとき、cf(x)はx=a において連続 $$
$$ f(x)g(x)はx=a において連続 $$
$$ g(a) \neq 0 のとき、\frac{f(x)}{g(x)}はx=a において連続 $$
合成関数の連続
$$ y=f(x)がx=aで連続、g(y)がy=f(a)で連続 $$
$$ \implies 合成関数 (g \circ f)(x) = g(f(x))は x=a で連続 $$
$$ y=f(x)が区間 I で連続、g(y)がfの値域を含む区間で連続 $$
$$ \implies 合成関数 (g \circ f)(x) = g(f(x)) は I において連続 $$
閉区間における連続関数の性質
中間値の定理
中間値の定理 ― 実数直線 R の閉区間 I ＝［a, b］上で定義される連続な実数値関数 f が f(a) < f(b) を満たすとき、閉区間［f(a), f(b)］内の任意の点 γ に対して、γ ＝ f(c) となる I 内の点 c が存在する。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
$$ f(x):閉区間[a, b]において連続、f(a) \neq f(b) $$
$$ \implies f(a) と f(b) の間にある任意の数 k に対して \exists c \in (a, b) \mbox{ s.t. } f(c) = k $$
最大値・最小値
$$ f(x): 区間 I で定義されている $$
$$ f が I において最大値（最小値）を持つ $$
$$ :\iff I におけるf の値域\{f(x)| x \in I \} が \mathbb{R} の部分集合として最大値（最小値）を持つ $$
$$ f(x): 区間 I [a, b]で連続 $$
$$ \implies f(x) は I において最大値、最小値を持つ $$
c.f. 開区間\((0, \infty)\)で\(f(x)=\frac{1}{x}\)を考えると、この関数は最大値、最小値を持たない。
単調な連続関数の逆関数
\(y=f(x)\) が\(I=[a, b]\)において単調のとき次が成り立つ。
$$ fは一対一関数 $$
さらに、\(f\)が\(I\)において連続ならば、
$$ J = [f(a), f(b)]を定義域とする逆関数 f^{-1} が存在する $$
$$ f^{-1} は J において連続である $$