\(a \leq x \leq b\)で\(f(x)\)と\(x\)軸が作る面積を求める。
\([a, b]\)を\(n\)個の小区間、
$$ [x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots , [x_{n-1}, x_n] $$
$$ x_0 = a, x_n= b $$
に分ける。
それぞれの点を分点とよび、
$$ \Delta = \{ x_i \}_{i=0}^{n} $$
$$ \Delta : a = x_0 \lt x_1 \lt \cdots \lt x_{n-1} \lt x_n =b $$
で表す。
小区間の長さを、
$$ \Delta x_i = x_i – x_{i-1} \quad (i = 1, \ldots, n) $$
と定義する。それぞれの小区間は等間隔でなくとも良いとする。
小区間の幅の最大値を分割の幅（メッシュサイズ）と呼び、
$$ | \Delta | = \max_{i=1, \ldots n} \Delta x_i $$
で表す。
\(\xi _i \in [x_{i-1}, x_i] \)、つまりそれぞれの小区間\([x_{i-1}, x_i]\)から任意の点を選びそれを\( \xi _i\)とする。
すると、それぞれの小区間の面積は、
$$ f( \xi _i ) \Delta x_i $$
で近似できる。
それらの和を、
$$ S( f; \Delta) = \sum_{i=1}^{n} f( \xi _i ) \Delta x_i $$
とし、この\(S\)を分割\(\Delta\)に付随する\(f\)のリーマン和という。
関数\(f(x)\) が閉区間\(I = [a, b]\)においてリーマン積分可能ならば、\(I\)の分割\(\Delta\)に付随する\(f\)のリーマン和において、
$$ \lim_{| \Delta | \to 0} \sum_{i=1}^{n} f( \xi _i ) \Delta x_i = \int_{a}^{b} f(x) dx $$
が成り立つ。
これは、「\(f(x)\)が積分可能であれば、\(f\)のリーマン和は分割の幅をどんどんと小さくした時にリーマン和の極限値が存在して、その極限値は\(\int_{a}^{b} f(x) dx\)に等しい」ということを言っている。
リーマン積分可能な関数例
連続関数
連続関数は積分可能である。
一様連続性
直感的には、以下の理解です。
大雑把に言って、関数の連続性とは引数 x の変化が小さいと関数値 f(x) の変化も小さい事を指すが、このとき f(x) の変化の度合いが x の変化の度合いにのみ依存し、x の値自身にはよらなければ f は一様連続であるという。 すなわち一様連続性とは、f の定義域において x と y が十分近いことを要求するだけで（ x の値によらず）、f(x) と f(y) が近い値をとることを保証していることを言う。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
よりちゃんとした理解には以下。
一様連続を使うことで、
$$ 関数 f(x, y) が区間[a, b] 上で連続なら，f は [a, b] 上で積分可能である。$$
ことを示すことができる。
区分的に連続な関数
不連続点が高々有限個であり、各々の不連続点において、右極限、左極限がともに存在すれば、積分可能である。
単調な関数
単調な関数は積分可能である。
定積分の基本的な性質
$$ a \lt c \lt b とする。$$
このとき、
$$ f(x) は [a, b] で積分可能 $$
$$ \iff f(x) は [a, c] および [c, b] で積分可能 $$
である。
また、
$$ f(x) は [a, b] で積分可能 $$
$$ \implies \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx $$
\( \int_{a}^{b} f(x) dx \)は、\(a \lt b\)に対して定義されるが、より一般の場合に成り立つように、積分の定義として以下を加える。
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = – \int_{b}^{a} f(x) dx \quad ( a \lt b) $$
$$ \int_{a}^{a} f(x) dx = 0 $$
線形性
$$ \int_{a}^{b} ( f(x) + g(x) ) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx $$
$$ \int_{a}^{b} c f(x) dx = c \int_{a}^{b} f(x) dx $$
不等式
\(a \lt b \)とする。
$$ f(x) \geq 0 \implies \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 $$
$$ f(x) \geq g(x) \implies \int_{a}^{b} f(x) dx \geq \int_{a}^{b} g(x) dx $$
$$ | \int_{a}^{b} f(x) dx | \leq \int_{a}^{b} | f(x) | dx $$
また、\(m \leq f(x) \leq M \ (a \leq x \leq b) \)のとき、
$$ (b-a) m \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq (b-a) M $$