不定積分と原始関数
不定積分（面積を\(x\)の関数として考える）と原始関数（微分の逆演算）は、定義としては全く別のものであるのだが、実は一致する。
不定積分
$$ f(x): [a, b]で積分可能 $$
のとき、\([a,b]\)上の関数\(F(x)\)を以下で定義する。
$$ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt $$
このとき、
$$ F(x) は [a, b]で連続である。$$
この\(F(x)\)を\(f\)の不定積分という。
不定積分は関数\(f(x)\)の\([a, x]\)の作る面積を\(x\)の関数として表したもの。
原始関数
区間\(I\)上で与えられた関数\(f(x)\)に対し、
$$ F'(x) = f(x) $$
をみたす関数\(F(x)\)が存在するとする。
この\(F(x)\)を\(f(x)\)の原始関数といい、
$$ F(x) = \int f(x) dx $$
で表す。
\(f\)の原始関数の一つを\(F(x)\)とすると、一般の原始関数は、
$$ G(x) = F(x) + C \quad (C:定数) $$
と表される。
微積分学の基本定理
微分積分学の基本定理（びぶんせきぶんがくのきほんていり、fundamental theorem of calculus）とは、「微分と積分が互いに逆の操作・演算である」 ということを主張する解析学の定理である。
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
第一基本定理
$$ f(x): [a, b] で積分可能 $$
$$ F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt \quad (F(x) は [a, b]で定義される) $$
とすると、このとき\(f(x)\)が\(c \in [a, b]\)で連続ならば、
$$ F(x) は x = c で微分可能（端点ではそれぞれ右微分、左微分とする） $$
$$ F'(c) = f(c) $$
が成立する。
証明
\(a \lt c \lt b\)、\(h \gt 0\)、つまり右微分のみの場合を示す。
$$ \begin{align} F(c+h) – F(c) &= \int_{a}^{c+h} f(t) dt – \int_{a}^{c} f(t) dt \\ &= \int_{c}^{a} f(t) dt + \int_{a}^{c+h} f(t) dt \\ &= \int_{c}^{c+h} f(t) dt \end{align} $$
ここで、\([c, c+h]\)での\(f(x)\)の上限\(M_h\)、下限\(m_h\)をそれぞれ、
$$ M_h = \sup_{c \leq x \leq c+h} f(x), \ m_h = \inf_{c \leq x \leq c+h} f(x) $$
とおく。
定積分の性質、
$$ (b-a)m \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq (b-a)M \quad (a \leq x \leq b \ のとき \ m \leq f(x) \leq M ) $$
より、
$$ h \cdot m_h \leq \int_{c}^{c+h} f(t) dt \leq h \cdot M_h $$
である。
よって、
$$ m_h \leq \frac{F(c+h) – F(c)}{h} \leq M_h $$
\(f(x)\)は\(x=c\)において連続なので、
$$ \lim_{h \to 0} m_h = \lim_{h \to 0} M_h = f(c) $$
よって、はさみうちの原理をより、
$$ \lim_{h \to 0} \frac{F(c+h) – F(c)}{h} = f(c) $$
注意
\(f(x)\)が連続ならば、その不定積分\(\int_{a}^{x} f(t) dt \)は\(f\)の原始関数の一つであり、
$$ \int f(x) dx = \int_{a}^{x} f(t) dt + C \quad (Cは積分定数) $$
で与えられる。
この場合において、「不定積分」と「原始関数」は同じ意味の言葉として使うことができる。
微積分学の基本公式
$$f(x) : [a, b]で連続 $$
$$ F(x): fの原始関数の一つ $$
このとき、
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a) $$
が成り立つ。
証明
$$ f の不定積分 \ \int_{a}^{x} f(t) dt = G(x) \tag{1}$$
は、\(f\)の原始関数の一つである。
$$ G'(x) = f(x) = F'(x) $$
ゆえに、ある定数\(C\)が存在して、
$$ G(x) = F(x) + C \tag{2} $$
が成り立つ。
$$ G(a) = F(a) + C = \int_{a}^{a} f(t) dt = 0 $$
より、
$$ C = – F(a) \tag{3}$$
ゆえに、
$$ \begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx &= G(b) \ \because (1) \\ &= F(b) + C \ \because (2) \\ &= F(b) – F(a) \ \because (3) \end{align} $$
第二基本定理
$$ f(x) :[a, b]で積分可能 $$
$$ F(x) :[a, b] で F'(x) = f(x) \quad (F は f の原始関数) $$
このとき、
\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a) $$
が成り立つ。
第一基本定理との大きな違いは、「\(f\)の連続性を前提としてない」ところ。