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積分法の成り立ち

高校での積分の学び方

微分の知識を前提として学ぶ。

不定積分

f(x)に対して、微分するとf(x)になる関数をf(x)の原始関数と呼び、

f(x)dx

と定める。

定積分

F(x)f(x)の原始関数の一つであるとき、

baf(x)dx=F(b)F(a)

と定める。

微分積分学の基本定理

微分と積分は互いに逆の操作である。

ddxxaf(t)dt=f(x)

積分法の成り立ち

積分法は微分法とは別に「面積を求めるもの」として発展してきたが、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付けた。

定積分

baf(x)dx

axbの範囲でx軸とf(x)が作る「符号付き」の面積として定義する。

不定積分

定積分の端点を変数xとし、定積分で求める面積をxの関数として表す。

xaf(x)dx=F(x)

微積分学の基本定理

17世紀、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付ける。

F(x)=ddxxaf(t)dt=f(x)

が成り立つ。

従って、定積分は原始関数を用いて

baf(x)dx=F(b)F(a)

で計算できる。