高校での積分の学び方
微分の知識を前提として学ぶ。
不定積分
f(x)に対して、微分するとf(x)になる関数をf(x)の原始関数と呼び、
∫f(x)dx
と定める。
定積分
F(x)がf(x)の原始関数の一つであるとき、
∫baf(x)dx=F(b)–F(a)
と定める。
微分積分学の基本定理
微分と積分は互いに逆の操作である。
ddx∫xaf(t)dt=f(x)
積分法の成り立ち
積分法は微分法とは別に「面積を求めるもの」として発展してきたが、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付けた。
定積分
∫baf(x)dx
をa≤x≤bの範囲でx軸とf(x)が作る「符号付き」の面積として定義する。
不定積分
定積分の端点を変数xとし、定積分で求める面積をxの関数として表す。
∫xaf(x)dx=F(x)
微積分学の基本定理
17世紀、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付ける。
F′(x)=ddx∫xaf(t)dt=f(x)
が成り立つ。
従って、定積分は原始関数を用いて
∫baf(x)dx=F(b)–F(a)
で計算できる。