高校での積分の学び方
微分の知識を前提として学ぶ。
不定積分
\(f(x)\)に対して、微分すると\(f(x)\)になる関数を\(f(x)\)の原始関数と呼び、
$$ \int f(x) dx $$
と定める。
定積分
\(F(x)\)が\(f(x)\)の原始関数の一つであるとき、
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a) $$
と定める。
微分積分学の基本定理
微分と積分は互いに逆の操作である。
$$ \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
積分法の成り立ち
積分法は微分法とは別に「面積を求めるもの」として発展してきたが、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付けた。
定積分
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx $$
を\( a \leq x \leq b\)の範囲で\(x\)軸と\(f(x)\)が作る「符号付き」の面積として定義する。
不定積分
定積分の端点を変数\(x\)とし、定積分で求める面積を\(x\)の関数として表す。
$$ \int_{a}^{x} f(x) dx = F(x) $$
微積分学の基本定理
17世紀、ニュートン・ライプニッツが微分法と積分法を結び付ける。
$$ F'(x) = \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) $$
が成り立つ。
従って、定積分は原始関数を用いて
$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a) $$
で計算できる。