基本的な不定積分

初等関数の不定積分

$$\int x^a dx = \begin{cases} \frac{1}{a} x^{a+1} + C & ( a \neq -1) \\ \log |x| + C & ( a = -1 ) \end{cases}$$

$$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + C$$

$$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan ( \frac{x}{a} ) + C \quad (a \gt 0)$$

$$\int \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}= \arcsin ( \frac{x}{a} ) + C \quad (a \gt 0)$$

$(ax+b)$の不定積分

$a, b$を定数、$a \neq 0$とする。

$$\int f(x) dx = F(x) + C$$

のとき、

$$\int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$$

証明

$$F'(x) = f(x)$$

$$\frac{d}{dx} F(ax+b) = a F'(ax+b) = a f(ax+b)$$

$$\therefore \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} F(ax + b) + C$$

合成関数の微分の逆

$$\int \{ f(x) \}^{\alpha} f'(x) dx = \frac{1}{\alpha + 1} \{ f(x) \}^{\alpha +1} + C \quad (\alpha \neq -1)$$

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x) | + C$$