配当を組み込む原資産の先渡し契約の価値

$0 \leq t \leq T$の間に$y$の配当が原資産に組み込まれる場合の先渡し契約の適正価格について、複製ポートフォリオを用いて考えます。

まず、$t=T$について考えると$V(T)$は以下のように2つの要素から構成されます。

$$V(T) = S(T) – K_T$$

$t=0$の時$V(T)$の複製ポートフォリオは以下の2つから考えます。

1. $e^{-yT}$の所持割合の原資産
2. $e^{-rT}K_T$の負債

すると、時点$t$の複製ポートフォリオを以下の2つからなります。

1. $e^{-yT} \cdot e^{yt} \cdot S(t) = e^{-y(T-t)}S(t)$の原資産
2. $e^{-rT} K_T \cdot e^{-rt} = e^{-r(T-t)}K_T$の負債

この複製ポートフォリオの価値は、

$$V(t) = e^{-y(T-t)}S(t) – e^{-r(T-t)}K_T \tag{1}$$

$t=T$において$(1)$は、

$$V(T) = e^{-y(T-T)}S(t) – e^{-r(T-T)}K_T = S(T) – K_T$$

となり、確かに先渡し契約の複製ポートフォリオになっています。

よって、適正価格$K_T$は、

$$V(0) = 0$$

なので、

$$e^{-y(T)}S(0) – e^{-r(T)}K_T = 0$$

$$\begin{align} K_T &= e^{r(T)}e^{-y(T)}S(0) \\ &= e^{(r-y)T}S(0) \end{align}$$

となります。

この考え方は、$(r-y)$を原資産の維持コスト(carrying charge)とすることで、そのままコモディティに適用することができます。

原資産がコモディティであるような場合は、”Cost of carry” の考えを使い$c$を convenience yield 、$s$を storage cost とし、$y=c-s$とすることで、上式を以下のように変形できます。

$$K_T = e^{(r+s-c)T}S(0)$$

The cost of carry or carrying charge is cost of storing a physical commodity, such as grain or metals, over a period of time. 

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