先渡し契約とキャッシュ・アンド・キャリー

以上の議論より、先渡し価格$K_T$は以下のように定まります。

$$ K_T = e^{rT}S(0) $$

$K_T \neq e^{rT}S(0)$の場合はアービトラージが生じます。

$K_T \gt e^{rT}S(0)$の場合のアービトラージをキャッシュ・アンド・キャリー、$K_T \lt e^{rT}S(0)$の場合のアービトラージをリバース・キャッシュ・アンド・キャリーと呼びます。

逆に、アービトラージが存在しないと仮定する場合は、$K_T = e^{rT}S(0)$となります。

$K_T \gt e^{rT}S(0)$の時「高いものはショート、安いものはロング」するので、$t=0$の時点で、先渡し契約でショート側に立ち、また$S(0)$を借り入れて原資産を購入します。

$$ V(t) = S(t) – e^{rt} S(0) $$

$t=T$の時点で、先渡し契約が実行されるので、原資産を引き渡し$K_T$を受け取るので、以下のように必ず正の利益を手にすることができます。

$$ V(T) = K_T – e^{rT} S(0) \gt 0 $$

上をただ逆にするだけです。

$K_T \lt e^{rT}S(0)$の時「高いものはショート、安いものはロング」するので、$t=0$の時点で、先渡し契約でロング側に立ち、また$S(0)$をショートして、得た金額をリスクフリーレートで運用します。

$$ V(t) = -S(t) + e^{rt} S(0) $$

$t=T$の時点で、先渡し契約が実行されるので、原資産を受け取り$K_T$を支払うので、以下のように必ず正の利益を手にすることができます。

$$ V(t) = e^{rT} S(0) – K_T \gt 0$$