積の公式
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$$
証明
\(y=f(x)=u(x) \cdot v(x)\)を考えます。
$$ \begin{align} y + \Delta y &= (u + \Delta u)(v + \Delta v) \\ &= uv + u \Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v \end{align} $$
$$ \begin{align} \Delta y &= ( y + \Delta y ) – y \\ &= u \Delta v + v\Delta u + \Delta u \Delta v \end{align} $$
$$ \frac {\Delta y}{\Delta x} = u \frac{\Delta v}{\Delta x } + v\frac{\Delta u}{ \Delta x} + \Delta u \frac{\Delta v}{ \Delta x } $$
\( \Delta x \rightarrow 0\)を考えます。\(u\)が連続であれば \( \Delta x \rightarrow 0\) の時 \( \Delta u \rightarrow 0\) になります。
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} + 0 \frac{dv}{dx} $$
つまり、
$$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} $$
となります。
例
\(y= x^3 \cdot x^4 \)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= x^3\frac{d}{dx}x^4 + x^4\frac{d}{dx}x^3 \\ &= x^3 \cdot 4x^3 + x^4 \cdot 3 x^2 \\ &= 7x^6 \end{align}$$
\(y= (x^3-4x) (3x^4+2) \)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= (x^3-4x) \frac{d}{dx} (3x^4+2) + (3x^4+2) \frac{d}{dx} (x^3-4x) \\ &= (x^3-4x) 12x^3 + (3x^4+2) (3x^2-4) \\ &= 21x^6-60x^4+6x^2-8 \end{align}$$
商の公式
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right)= \frac{ v \frac{du}{dx}- u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$
証明
\(y= f(x) = \frac{u}{v}\)を考えます。
$$ y + \Delta y = \frac {u + \Delta u}{v + \Delta v} $$
$$ \begin{align} \Delta y &= \frac{u + \Delta u}{v+\Delta v} – \frac{u}{v} \\ &= \frac{uv + v\Delta u-uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)} \\ &= \frac{v\Delta u – u \Delta v}{v(v+\Delta v)} \end{align}$$
$$ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac {v \frac{\Delta u}{\Delta x} – u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)} $$
\( \Delta x \rightarrow 0\)を考えます。 \(v\)が連続であれば \( \Delta x \rightarrow 0\) の時 \( \Delta v \rightarrow 0\) になります。
$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right)= \frac{ v \frac{du}{dx}- u \frac{dv}{dx}}{v^2} $$
例
\(y= \frac{3x^2-2}{x^2+1}\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(3x^2-2) – (3x^2-2)\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{(x^2+1)6x – (3x^2-2)(2x)}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{6x^3+6x-6x^3+4x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{10x}{(x^2+1)^2} \end{align} $$