合成関数の微分

$$関数 y = f(x): 開区間 I において微分可能$$

$$関数 z = g(y): f の値域を含む閉区間 J において微分可能$$

このとき、

$$合成関数 w = (g \circ f)(x) = g(f(x)) は I において微分可能$$

$$(g \circ f)’ = g'(f(x))f'(x)$$

が成り立つ。

証明

$$x \in I, y = f(x) \in J$$

とする。

$$\exists \varphi_1(t), \exists \varphi_2(t),\exists \delta \gt 0 \mbox{ s.t. } |h| \lt \delta$$

の範囲で、

$$f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \varphi_1(h) \tag{1}$$

$$g(y+h) = g(y) + g'(y)h + \varphi_2(h) \tag{2}$$

$$\varphi_1(h) = o(h), \ \varphi_2(h) = o(h)$$

また関数 $\epsilon(h)$を、

$$\epsilon(h) = \begin{cases} \frac{\varphi_2(h)}{h} & (h \neq 0) \\ 0 & (h =0) \end{cases}$$

とおくと、

$$\lim_{h \to 0} \epsilon (h) = 0$$

$$g(y +h) = g(y) + g'(y)h + h \epsilon (h)$$

が成り立つ。

一方、$\Delta x$が十分小さいとき、$(1)$より、

$$f(x+ \Delta x) = f(x) + f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x)$$

ここで、

$$\Delta y = f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x)$$

とおくと、

$$\Delta y \to 0 \quad ( \Delta x \to 0 )$$

よって、$|\Delta x|$を十分小さくして$|\Delta y| \lt \delta$とすることができる。

このとき、

$$\begin{align} (g \circ f) (x + \Delta x) &= g(f(x+\Delta x)) \\ &= g(f(x) + \Delta y) \\ &= g( f(x)) + g'(f(x)) \Delta y + \Delta y \epsilon ( \Delta y) \\ &= g(f(x)) + g'(f(x))(f'(x)(f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x)) \\ & \ + (f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x)) \epsilon ( \Delta y) \\ &= (g \circ f) (x) + g'(f(x))f'(x)(\Delta x) \\ & \ + g'(f(x)) \varphi_1 (\Delta x) \tag{3} \\ & \ + (f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x)) \epsilon ( \Delta y) \tag{4} \end{align}$$

$(3)$において、

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{g'(f(x)) \varphi_1 (\Delta x)}{\Delta x} = 0 \quad \because (\varphi_1 (\Delta x) = o(\Delta x))$$

$$\therefore g'(f(x)) \varphi_1 (\Delta x) = o(\Delta x)$$

$(4)$において、

$$\begin{align} & \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \{f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x) \} \epsilon ( \Delta y) \\ =& \lim_{\Delta x \to 0} \{f'(x) + \frac{\varphi_1 (\Delta x)}{\Delta x} \} \epsilon ( \Delta y) \\ =& 0 \end{align}$$

$$\therefore (f'(x) \Delta x + \varphi_1 (\Delta x) ) \epsilon ( \Delta y) = o(\Delta x)$$

よって、

$$(g \circ f) (x + \Delta x) = (g \circ f) (x) + g'(f(x))f'(x)(\Delta x) + o(\Delta x)$$

つまり、

$$g \circ f は点 x で微分可能$$

$$( g \circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x)$$