極大値・極小値
定義
$$ 関数 f は点 x=c において極大値（極小値）を取る $$
$$ :\iff 点 x=c を含むある開区間 J が存在し、$$
$$f(c) が J における f の最大値（最小値）になる $$
\(f(c)\)が極大値/極小値であれば導関数は0
$$ f(x) : 点 c において微分可能 $$
$$ このとき、f(c)が極大値か極小値を取る $$
$$ \implies f'(c)=0 $$
また、\(x^3\)が反例になるように、逆は真ではない。
証明
極大値について考える。
まず、極大値の定義より、ある開区間 \(J\) において \(f(c)\) は最大値になる。
また、\(f(x)\)は点\(c\)において微分可能なので、
$$ f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h}$$
が存在する。
ここで、\(f(c)\) は最大値なので、
$$ f(c+h) -f(c) \leq 0 $$
よって、
$$ \frac{f(c+h) -f(c)}{h} \leq 0 \quad (h \gt 0) $$
つまり
$$ \lim_{h \to +0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h} \leq 0$$
また、
$$ \frac{f(c+h) -f(c)}{h} \geq 0 \quad (h \lt 0) $$
つまり
$$ \lim_{h \to -0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h} \geq 0 $$
以上より、
$$ f'(c) = \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h) -f(c)}{h} = 0 $$
ロルの定理
$$ f(x): 閉区間[a, b]で連続、開区間(a, b)で微分可能 $$
$$ f(a)=f(b) \implies c(a \lt c \lt b)が存在してf'(c)=0 $$
証明
\(f(x)\)は\([a, b]\)で連続なので、\(c_1, c_2 \in [a, b]\)で\(f(c_1)\)が最大値、\(f(c_2)\)が最小値となるものが存在する。
\(f(c_1) = f(c_2)\)のとき、\(f\)は定数関数になるので、
$$ f'(c_1) = f'(c_2) = 0 $$
\(f(c_1) \neq f(c_2)\)のとき、\(c_1, c_2\)の少なくとも一方が開区間\((a, b)\)に含まれ、極大値または極小値となる。
それを\(c\)とおくと、
$$ f'(c) = 0 $$
平均値の定理
$$ f(x):[a, b]において連続、(a, b) で微分可能 $$
$$ \implies a \lt c \lt b が存在して \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c) $$
証明
$$ F(x) = f(x) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a} (x-a) $$
とおくと、
$$ F(x): 閉区間[a, b]で連続、開区間(a, b)で微分可能 $$
であり、
$$ F(a)=F(b) $$
を満たす。
よって、\(F(x)\)にロルの定理を適用して、
$$ F'(c) = 0 となる c(a \lt c \lt b) が存在する。$$
つまり、
$$ F'(c) = f'(c) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0 $$
$$ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
平均値の定理の別の表し方
$$ f(x) が[a, a+h]で微分可能 $$
$$ \implies f(a+h) = f(a) + f'(a+\theta h) h \quad (0 \lt \theta \lt 1) $$
$$を満たすような \theta が少なくとも一つ存在する。$$
証明
\(h=0\)であれば\(\forall \theta\)で成立する。
\(h \gt 0\)のとき、平均値の定理で\(b=a+h\)として、
$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(c) $$
$$ f(a+h) = f(a) + f'(c)h \tag{1} $$
を満たす \(c\)が少なくとも一つ存在する。
$$ \theta = \frac{c-a}{h}$$
とおくと、\(a \lt c \lt a+h\)より、
$$ 0 \lt \theta \lt 1 $$
また、\((1)\)より、
$$ f(a+h) = f(a) + f'(a+ \theta h) h $$
\(h \lt 0\)のとき、\([a+h, a]\)に対して平均値の定理より、
$$\frac{ f(a) -f(a+h)}{a-(a+h)} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(c) \quad (a+h \lt c \lt a) \tag{2}$$
を満たす\(c\)が存在する。
$$ \theta = \frac{c-a}{h}$$
とおくと、\(a+h \lt c \lt a\)より、
$$ 0 \lt \theta \lt 1 $$
また、\((2)\)より、
$$ f(a+h) = f(a) + f'(a+ \theta h) h $$
平均値の定理の応用
平均値の定理を使うことで、ある区間\(I\)における\(f’\)の性質から、\(f\)に関する情報を得ることができる。
定数関数
$$ f(x): 開区間 I において微分可能 $$
$$ \forall x \in I に対しf'(x) = 0 $$
$$ \implies f はI において定数関数である$$
証明
$$ a, b \in I \quad a \lt b とする。$$
平均値の定理より、
$$ ある x \in (a, b) が存在して、f'(x) = \frac{f(b) -f(a)}{b-a} $$
ここで、
$$ \forall x \in I に対して f'(x) = 0 $$
なので、
$$ \forall x \in I \quad f'(x) = \frac{f(b) -f(a)}{b-a} = 0$$
ゆえに、\(I\)の任意の2点において\(f\)の値は等しいといえる。
導関数の正負と関数の増減
$$ f(x): 開区間 I において微分可能 $$
$$ Iにおいて常にf(x) \gt 0 \implies fはIにおいて単調増加$$
$$ Iにおいて常にf(x) \lt 0 \implies fはIにおいて単調減少 $$
証明
\(f'(x) \gt 0\)のとき、
$$ a, b \in I, \ a \lt b \ とする。$$
平均値の定理より、
$$ x \in (a, b) が存在して、f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
題意より、
$$ x \in (a, b) において、f'(x) \gt 0 $$
つまり、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \gt 0 $$
$$ \therefore f(a) \lt f(b) \quad (a \lt b) $$
これは\(f\)が単調増加の定義である。
\(f'(x) \lt 0\)のとき、
$$ a, b \in I, \ a \lt b \ とする。$$
平均値の定理より、
$$ x \in (a, b) が存在して、f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
題意より、
$$ x \in (a, b) において、f'(x) \lt 0 $$
つまり、
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \lt 0 $$
$$ \therefore f(a) \gt f(b) \quad (a \lt b) $$
これは\(f\)が単調減少の定義である。