$$ 指数関数 f(x) = e^x $$
微分の定義に従い、
$$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ &=e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} \end{align}$$
ここで、\(t = e^h -1\)とおくと、
$$ h = \log (1+t) $$
$$ h \to 0 \iff t \to 0 $$
よって、
$$ \begin{align} \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h} &= \lim_{t \to 0}\frac{t}{\log (1+t)} \\ &= \lim_{t \to 0} \left( \frac{1}{log (1+t)^{\frac{1}{t}}} \right) \end{align} $$
対数関数の連続性より、極限を取る順序を入れ替えることができるので、
$$ \lim_{t \to 0} \left( \frac{1}{log (1+t)^{\frac{1}{t}}} \right) = \frac{1}{\log (\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}) } $$
また、
$$\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\ $$
より、
$$ \frac{1}{\log (\lim_{t \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}) } = \frac{1}{\log e} = 1$$
よって、
$$ f'(x) = e^x $$
関数の連続の定義より、
$$ f(x) が点a で連続である :\iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
であり、また、
$$ \lim_{x \to a} x = a $$
なので、
$$ f(x) が点a で連続である \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(\lim_{x \to a} x) $$
である。
つまり、連続関数では極限を取る順序を交換することができる。