$$ 冪関数 f(x) = x^n \quad n \in \mathbb{Z} とする。 $$
\(n \geq 0\)のとき、積の微分公式と帰納法より、
$$ f'(x) = n x^{n-1} \tag{1}$$
\(n \lt 0\)のとき、商の微分公式と\((1)\)より、
$$ \begin{align} f'(x) = (x^n)’ &= (\frac{1}{x^{-n}})’ \\ &= \frac{-(x^{-n})’}{(x^{-n})^2} \\ &= \frac{n x^{-n-1}}{x^{-2n}} = nx^{n-1} \end{align}$$
以上より、
$$ f'(x) = n x^{n-1} \quad (n \in \mathbb{Z}) $$