sin の微分
$$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x $$
証明
$$ \begin{align} \frac{d}{dx}\sin x &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\sin(x+\Delta x) – \sin x}{\Delta x}\\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x \cos \Delta x + \cos x \sin \Delta x – \sin x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ \cos x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} – \sin x \frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x} \right] \\ &= \cos x \left[ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} \right] – \sin x \left[ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {1 – \cos \Delta x}{\Delta x} \right] \end{align} $$
ここで、
$$ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} = 1 $$
$$ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {1 – \cos \Delta x} {\Delta x} = 0 $$
なので、
$$ \frac {d}{dx}\sin x= \cos x $$
cos の微分
$$ \frac {d}{dx}\cos x = – \sin x $$
証明
$$ \begin{align} \frac{d}{dx}\cos x &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\cos(x+\Delta x) – \cos x}{\Delta x}\\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\cos x \cos \Delta x + \sin x \sin \Delta x – \cos x}{\Delta x}\\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \left[ -\sin x \frac{\sin \Delta x}{\Delta x} – \cos x \frac{1-\cos \Delta x}{\Delta x} \right] \\ &=- \sin x \left[ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} \right] – \cos x \left[ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {1 – \cos \Delta x}{\Delta x} \right] \end{align} $$
ここで、
$$ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {\sin \Delta x}{\Delta x} = 1 $$
$$ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac {1 – \cos \Delta x} {\Delta x} = 0 $$
なので、
$$ \frac {d}{dx}\cos x=- \sin x $$
tan の微分
$$ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x} $$
証明
$$ \begin{align} \frac {d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \frac{\sin x}{\cos x} \\ &= \frac{\cos x \frac{d}{dx} \sin x – \sin x \frac{d}{dx} \cos x }{\cos^2 x}\\ &=\frac {\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\\ &= \frac {1}{\cos^2 x} \end{align}$$
例
\(y = \sin (5+4x^3)\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \cos(5+4x^3) \frac{d}{dx}(5+4x^3) \\&= 12 x^2 \cos(5+4x^3) \end{align} $$
\(y = \cos (\sin x)\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= – \sin (\sin x) \frac{d}{dx}\sin x \\ &= -\sin (\sin x) \cdot \cos x \end{align} $$
\(y = \sin \frac{1-x^2}{1+x^2}\)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \cos \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \frac{d}{dx} \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \\ &= \cos \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \frac{(1+x^2)(-2x)-(1-x^2)(2x)}{(1+x^2)^2} \\ &= \frac{-4x}{(1+x^2)^2} \cos \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right) \end{align} $$
\(y=\cos (1+\sin 5x) \)を微分します。
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= – \sin (1+ \sin 5x) \frac{d}{dx} (1 + \sin 5x) \\ &= – \sin (1+ \sin 5x) \cos 5x \frac{d}{dx} 5x \\ &= -5 \sin (1+ \sin 5x) \cos 5x \end{align} $$
\( y= {\sin}^5 7 x^2\)を微分します。\(w = /sin 7 x^2\)として、
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 5 w^4 \frac{dw}{dx} \\ &= 5 w^4 \cos 7 x^2 \frac{d}{dx} 7x^2 \\ &=70 x \cdot {\sin}^4 7 x^2 \cdot \cos 7 x^2 \end{align} $$
\(y= \tan^5 (3 x^2 +1) \)を微分します。\(w = \tan (3x^2 + 1)\)として、
$$ \begin{align} \frac{dy}{dx} &= 5 w^4 \frac{dw}{dx} \\ &= 5 w^4 \frac{1}{\cos^2(3 x^2+1)} \frac{d}{dx}(3x^2+1) \\ &= 30 x \frac{ \tan^4(3x^2+1)}{\cos^2(3x^2+1)} \end{align} $$