$$ y = f(x) = \log x $$
ここで、
$$ x = g(y) = e^y $$
とおくと、
$$ f は g の逆関数 \quad (y \in (-\infty, \infty)) $$
\(g(y)\)は指数関数なので、
$$ y \in (-\infty, \infty) で単調で微分可能 $$
$$g'(y) は y \in (-\infty, \infty) で g'(y) \neq 0 $$
逆関数の微分の定理より、
$$ f'(x) = g^{-1}(y) は g の値域 x \in (0, \infty) で微分可能$$
$$ f'(x) = \frac{1}{g'(y)} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{e^{\log x}} = \frac{1}{x} $$
つまり、
$$ (\log x)’ = \frac{1}{x} $$