\(\arcsin x\)の微分
$$ f(x) = \arcsin x \quad (-1 \lt x \lt 1) $$
\( \arcsin x\)は\(-1 \leq x \leq 1\)で定義されるが、微分は端点を除き考えるので\(-1 \lt x \lt 1\)で定義する。
\(\arcsin x\)は\(\sin x\)の逆関数なので、\(-\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \)で、
$$ f( \sin t) = t $$
とおける。
両辺を\(t\)で微分すると、
$$ f'(\sin t) \cos t = 1 $$
$$ f'(\sin t) = \frac{1}{\cos t} $$
ここで、\(x = \sin t\)とおくと、三角関数の公式より、
$$ \cos^2 t = 1 – \sin^2 t = 1 – x^2 $$
\(-1 \lt x \lt 1\)より、
$$ -\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2} $$
$$ \cos t \gt 0 $$
よって、
$$ \cos t = \sqrt { 1- x^2} $$
$$ f'(x) = \frac{1}{\sqrt { 1- x^2}} $$
つまり、
$$ ( \arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt { 1- x^2}} $$
\(\arccos x\)の微分
$$ f(x) = \arccos x \quad (-1 \lt x \lt 1) $$
\(f(x)\)は\(\cos x\)の逆関数なので、\( 0 \leq t \leq \pi\)の範囲で、
$$ f(\cos t) = t $$
とおける。
ここで、\(x = \cos t\)とおく。
\( \sin \theta \quad (-\frac{\pi}{2} \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}) \)を使い \(\cos t\) を表すと、
$$ \cos t = – \sin \theta \quad \theta = t – \frac{\pi}{2}$$
となる。
つまり、
$$ x = \cos t = -\sin \left( t – \frac{\pi}{2} \right) $$
よって、
$$ t = \arccos x $$
$$ t – \frac{\pi}{2} = – \arcsin x $$
つまり、
$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} – \arcsin x $$
両辺を微分して、
$$ (\arccos x)’ = – (\arcsin x)’ $$
$$ (\arccos x)’ = – \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
\(\arctan x\)の微分
$$ f(x) = \arctan x \quad (-\infty \lt x \lt \infty) $$
\(f(x)\)は\(\tan x\)の逆関数なので \(-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}\)の範囲で、
$$ f( \tan t) = t $$
両辺を\(t\)で微分すると、
$$ f'(\tan t)\left( \frac{1}{\cos^2 t}\right) = 1 $$
$$ f'(\tan t) = \cos^2 t $$
\(x = \tan t\)とおくと、
$$ 1 + \tan^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} $$
という公式より、
$$ \cos^2 t = \frac{1}{1+\tan^2 t} $$
よって、
$$ f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$$
つまり、
$$ (\arctan x)’ = \frac{1}{1+x^2}$$