\(\sin x\)の微分
$$ f(x) = \sin x $$
微分の定義に従い、
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) – \sin x}{h} $$
加法定理を使い、
$$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h – \sin x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \left\{ \sin x \left( \frac{\cos h -1}{h} \right) + \cos x \left( \frac{\sin h}{h} \right) \right\} \end{align}$$
ここで、参照より、
$$ \lim_{h \to 0} \frac { \sin h}{h} = 1 $$
倍角の公式より、
$$ \begin{align} \lim_{h \to 0}\frac{\cos h -1}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{(1-2 \sin^2 \frac{h}{2}) -1} {h} \\ &= -2 \lim_{h \to 0} \frac{(\sin \frac{h}{2})^2}{(\frac{h}{2})^2}\frac{h}{4} \\ &= -2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 \end{align}$$
よって、
$$ f'(x) = \cos x $$
つまり
$$ (\sin x)’ = \cos x $$
\(\cos x\)の微分
$$ f(x) = \cos x $$
\(\cos x = \sin ( x + \frac{\pi}{2}) \)なので、
$$ \begin{align} f'(x) &= \frac{d}{dx} \left( \sin ( x + \frac{\pi}{2}) \right) \\ &= \cos (x + \frac{\pi}{2}) \\ &= – \sin x \end{align} $$
つまり、
$$ (\cos x)’ = – \sin x $$
\(\tan x\)の微分
$$ f(x) = \tan x $$
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$
より、商の微分公式を使って、
$$ \begin{align} f'(x) &= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)’ \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac {1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \end{align}$$
つまり、
$$ (\tan x)’ = \frac {1}{\cos^2 x} = \sec^2 x $$
\(\cot x\)の微分
$$ f(x) = \cot x = \frac{1}{\tan x} $$
$$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$
より、商の微分公式を使って、
$$ \begin{align} f'(x) &= \left( \frac {\cos x}{\sin x} \right)’ \\ &= \frac{-\sin^2 x -\cos^2 x}{\sin^2 x} \\ &= – \frac{1}{\sin^2 x} = – \csc^2 x \end{align} $$
つまり、
$$ (\cot x)’ = \left( \frac{1}{\tan x} \right)’ = – \frac{1}{\sin^2 x} = – \csc^2 x $$