初等代数学における二項定理（にこうていり、英: binomial theorem）または二項展開 (binomial expansion) は二項式の冪の代数的な展開を記述するものである。
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高階微分を使い2項定理を証明します。
2項定理
$$\begin{align} (x+y)^{n} = {n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+ \\ \cdots +{n \choose k}x^{k}y^{n-k} + \cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n} \end{align}$$
証明
$$ (1+z)^n = (1+z)(1+z)(1+z) \cdots (1+z) $$
これは\(n\)次の多項式になるので以下のように表せる。
$$ (1+z)^n = a_0 + a_1 z+a_2 z^2 + \cdots + a_n z^n \tag{1}$$
\((1)\)で\(z=0\)とすると\(a_0=1\)になります。
\((1)\)の両辺を微分します。
$$ n(1+z)^{n-1} = a_1 + 2a_2 z+ 3a_3 z^2 + \cdots + n a_n z^{n-1} $$
$$ n(n-1)(1+z)^{n-2} = 2 a_2 + 3 \cdot 2 a_3 z + \cdots + n(n-1)a_n z^{n-2} $$
$$ n(n-1)(n-3)(1+z)^{n-3} = 3 \cdot 2 a_3 + \cdots + n(n-1)(n-2)a_n z^{n-3} $$
\(z=0\)にします。
$$ a_1=n $$
$$ a_2= \frac{n(n-1}{2} $$
$$ a_3=\frac{n(n-1)(n-2)}{2 \cdot 3} $$
$$ \cdots $$
$$ a_k = \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k} $$
$$ \cdots $$
$$ a_n = 1 $$
よって、
$$ (1+z)^{n} = 1+{n \choose 1}z+{n \choose 2}z^2+ \cdots +{n \choose k}z^k + \cdots +{n \choose n}z^n$$
ここで、\(z=\frac{y}{x}\)を代入します。
$$\begin{align} (x+y)^{n} = {n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+ \\ \cdots +{n \choose k}x^{k}y^{n-k} + \cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n} \end{align}$$