テイラーの定理
微分積分学において、テイラーの定理（テイラーのていり、英:Taylor's theorem）は、k回微分可能な関数の与えられた点のまわりでの近似をk次のテイラー多項式によって与える出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 「関数を多項式（級数）で近似...
平均値の定理
極大値・極小値 定義 $$ 関数 f は点 x=c において極大値（極小値）を取る $$ $$ :\iff 点 x=c を含むある開区間 J が存在し、$$ $$f(c) が J における f の最大値（最小値）になる $$ \(f(c)\)が極大...
逆三角関数の微分
\(\arcsin x\)の微分 $$ f(x) = \arcsin x \quad (-1 \lt x \lt 1) $$ \( \arcsin x\)は\(-1 \leq x \leq 1\)で定義されるが、微分は端点を除き考えるので\(-1 \lt x \lt...
三角関数の微分
\(\sin x\)の微分 $$ f(x) = \sin x $$ 微分の定義に従い、 $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} $$ 加法定理を使い、 $$ \begin{al...
実数冪関数の微分
$$ f(x) = x^{\alpha} \quad ( x \gt 0, \alpha \in \mathbb{R}) $$ 対数微分法を使う。 対数微分法のやり方と例題 \(f(x) \gt 0\)より\(\\log (f(x))\)を考えることができる。...
対数関数の微分
$$ y = f(x) = \log x $$ ここで、 $$ x = g(y) = e^y $$ とおくと、 $$ f は g の逆関数 \quad (y \in (-\infty, \infty)) $$ \(g(y)\)は指数関数なので、 ...
指数関数の微分
$$ 指数関数 f(x) = e^x $$ 微分の定義に従い、 $$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ &=e^x \lim_{h \to 0} \frac{...
冪関数の微分
$$ 冪関数 f(x) = x^n \quad n \in \mathbb{Z} とする。 $$ \(n \geq 0\)のとき、積の微分公式と帰納法より、 $$ f'(x) = n x^{n-1} \tag{1}$$ \(n \lt 0\)のとき、商の微分公...
定数関数の微分
定数関数 数学の分野における定数関数（ていすうかんすう、英: constant function; 定値写像）とは、それがとりうる値が変数の変動によって変わらない定数値の関数（写像）のことを言う。例えば、関数 f(x) = 4 はすべての値を 4 へと写すため、定数関数で...
高次導関数（高階導関数）
n次導関数（n階導関数） 「微分の微分の微分の…微分」を考える。 関数 f が区間 I で導関数 f′ をもち、それがさらに I で微分可能なとき、f′ の導関数を f の2階導関数（英語版）とよび f′′ で表す。より一般に、関数 f が区間 I で n 回繰り返...